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概率论. 语言 · 监视 · 编辑 · 首页 > 維基書架 > 数学书架 > 概率论. Wikipedia-logo.png. 维基百科中的相关条目：. 概率论. 随机事件及其概率编辑. 在概率论里必须先 ...概率论维基教科书，自由的教学读本跳到导航跳到搜索首页>維基書架>数学书架>概率论维基百科中的相关条目：概率论随机事件及其概率[编辑]在概率论里必须先定义一个可测空间Ω{\displaystyle\Omega}在F{\displaystyle{\mathcal{F}}}中；如果一个集合A{\displaystyleA}在F{\displaystyle{\mathcal{F}}}中，那么它的补集Ac{\displaystyleA^{c}}也在F{\displaystyle{\mathcal{F}}}中；如果有可数个集合A1,A2,⋯,An⋯{\displaystyleA_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\cdots}都在F{\displaystyle{\mathcal{F}}}中，那么它们的并集也在F{\displaystyle{\mathcal{F}}}中。
用数学语言来表示，就是Ω∈F;{\displaystyle\Omega\in{\mathcal{F}};}A∈F⇒Ac∈F;{\displaystyleA\in{\mathcal{F}}\RightarrowA^{c}\in{\mathcal{F}};}(∀n∈N An∈F)⇒⋃n=1∞An∈F.{\displaystyle(\foralln\in\mathbb{N}~~~A_{n}\in{\mathcal{F}})\Rightarrow\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_{n}\in{\mathcal{F}}.}记号(X,F){\displaystyle\left(X,{\mathcal{F}}\right)}称为一个可测空间。
(Ω,F,P){\displaystyle(\Omega,{\mathcal{F}},P)}称为概率空间，如果P{\displaystyleP}是一个概率测度，也就是说它必须符合空集的测度为零：P(∅)=0{\displaystyleP(\emptyset)=0}。
σ{\displaystyle\sigma}可加性：若A1,A2,⋯{\displaystyleA_{1},A_{2},\cdots}为F{\displaystyle{\mathcal{F}}}中可数个两两不交的集合的序列，则所有Ai {\displaystyleA_{i}\}的并集的测度，等于每个Ai {\displaystyleA_{i}\}的测度之总和：P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai){\displaystyleP(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})}空集的测度为零：μ(∅)=0{\displaystyle\mu(\emptyset)=0}。
值在0和1之间并且P(Ω)=1{\displaystyleP(\Omega)=1}随机变量是一个F{\displaystyle{\mathcal{F}}}可测的函数。
概率空间的定义符合我们对日常所说的概率的公理。
我们称Ω{\displaystyle\Omega}为样本空间，F{\displaystyle{\mathcal{F}}}为事件集合，其子集为随机事件。
以扔硬币为例：如果是一个有A,B{\displaystyleA,B}两面的硬币。
Ω={A,B}{\displaystyle\Omega=\{A,B\}}。
假设我们赌“A{\displaystyleA}”，如果赢的话可以得到一块钱，输的话我们就输一块钱，这种情况可以用一个随机变量X:Ω→R{\displaystyleX:\Omega\rightarrow\mathbb{R}}来表示。
X(A)=1{\displaystyleX(A)=1}，X(B)=−1{\displaystyleX(B)=-1}如果这个硬币没有做过手脚那么随机事件A{\displaystyleA}的概率P(A)=P(X=−1)=0.5{\displaystyleP(A)=P(X=-1)=0.5},随机事件B{\displaystyleB}的概率P(B)=P(X=−1)=0.5{\displaystyleP(B)=P(X=-1)=0.5}.符合σ{\displaystyle\sigma}可加性。
如果我们同时扔两个硬币Ω=
用数学语言来表示，就是Ω∈F;{\displaystyle\Omega\in{\mathcal{F}};}A∈F⇒Ac∈F;{\displaystyleA\in{\mathcal{F}}\RightarrowA^{c}\in{\mathcal{F}};}(∀n∈N An∈F)⇒⋃n=1∞An∈F.{\displaystyle(\foralln\in\mathbb{N}~~~A_{n}\in{\mathcal{F}})\Rightarrow\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_{n}\in{\mathcal{F}}.}记号(X,F){\displaystyle\left(X,{\mathcal{F}}\right)}称为一个可测空间。
(Ω,F,P){\displaystyle(\Omega,{\mathcal{F}},P)}称为概率空间，如果P{\displaystyleP}是一个概率测度，也就是说它必须符合空集的测度为零：P(∅)=0{\displaystyleP(\emptyset)=0}。
σ{\displaystyle\sigma}可加性：若A1,A2,⋯{\displaystyleA_{1},A_{2},\cdots}为F{\displaystyle{\mathcal{F}}}中可数个两两不交的集合的序列，则所有Ai {\displaystyleA_{i}\}的并集的测度，等于每个Ai {\displaystyleA_{i}\}的测度之总和：P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai){\displaystyleP(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})}空集的测度为零：μ(∅)=0{\displaystyle\mu(\emptyset)=0}。
值在0和1之间并且P(Ω)=1{\displaystyleP(\Omega)=1}随机变量是一个F{\displaystyle{\mathcal{F}}}可测的函数。
概率空间的定义符合我们对日常所说的概率的公理。
我们称Ω{\displaystyle\Omega}为样本空间，F{\displaystyle{\mathcal{F}}}为事件集合，其子集为随机事件。
以扔硬币为例：如果是一个有A,B{\displaystyleA,B}两面的硬币。
Ω={A,B}{\displaystyle\Omega=\{A,B\}}。
假设我们赌“A{\displaystyleA}”，如果赢的话可以得到一块钱，输的话我们就输一块钱，这种情况可以用一个随机变量X:Ω→R{\displaystyleX:\Omega\rightarrow\mathbb{R}}来表示。
X(A)=1{\displaystyleX(A)=1}，X(B)=−1{\displaystyleX(B)=-1}如果这个硬币没有做过手脚那么随机事件A{\displaystyleA}的概率P(A)=P(X=−1)=0.5{\displaystyleP(A)=P(X=-1)=0.5},随机事件B{\displaystyleB}的概率P(B)=P(X=−1)=0.5{\displaystyleP(B)=P(X=-1)=0.5}.符合σ{\displaystyle\sigma}可加性。
如果我们同时扔两个硬币Ω=