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1. 機率論
致使用者：請搜尋一下條目的標題（來源搜尋："概率論" — 網頁、新聞、 ... 機率論（英語：Probability theory）是集中研究機率及隨機現象的數學分支，是研究隨機 ...機率論維基百科，自由的百科全書跳至導覽跳至搜尋本條目存在以下問題，請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。
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統計學系列條目概率論概率公理概率空間樣本空間基本事件（英語：Elementary_event）事件隨機變量概率測度對立事件聯合分布邊緣分布條件概率統計獨立性條件獨立全概率公式大數定律貝葉斯定理布爾不等式文氏圖樹形圖閱論編典型的機率問題：「擲一顆公正的骰子，出現3點的機率是多少？」機率論（英語：Probabilitytheory）是集中研究機率及隨機現象的數學分支，是研究隨機性或不確定性等現象的數學。
機率論主要研究物件為隨機事件、隨機變數以及隨機過程。
對於隨機事件是不可能準確預測其結果的[1]，然而對於一系列的獨立隨機事件——例如擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤等，會呈現出一定的、可以被用於研究及預測的規律[2]，兩個用來描述這些規律的最具代表性的數學結論分別是大數法則和中央極限定理。
「機率論」的各地常用別名中國大陸概率論臺灣機率論港澳概率論日本、韓國漢字確率論作為統計學的數學基礎，機率論對諸多涉及大量數據定量分析的人類活動極為重要[3]，機率論的方法同樣適用於其他方面，例如是對只知道系統部分狀態的複雜系統的描述——統計力學，而二十世紀物理學的重大發現是以量子力學所描述的原子尺度上物理現象的機率本質[4]。
數學家和精算師認為機率是在0至1閉區間內的數字，指定給一發生與失敗是隨機的「事件」。
機率P(A){\displaystyleP(A)}根據機率公理來指定給事件A{\displaystyleA}。
一事件A{\displaystyleA}在一事件B{\displaystyleB}確定發生後會發生的機率稱為B{\displaystyleB}給之A{\displaystyleA}的條件機率；其數值為P(B∩A)P(B){\displaystyle{P(B\capA)\overP(B)}}。
若B{\displaystyleB}給之A{\displaystyleA}的條件機率和A{\displaystyleA}的機率相同時，則稱A{\displaystyleA}和B{\displaystyleB}為獨立事件。
且A{\displaystyleA}和B{\displaystyleB}的此一關係為對稱的，這可以由一同價敘述：「當A{\displaystyleA}和B{\displaystyleB}為獨立事件時，P(A∩B)=P(A)P(B){\displaystyleP(A\capB)=P(A)P(B)}。
」中看出。
機率論中的兩個重要概念為隨機變數和隨機變數的機率分布兩種。
目錄1生活例子2歷史3事件3.1單位事件、事件空間、隨機事件3.2事件的計算4機率的定義4.1傳統機率(古典機率)(拉普拉斯機率)4.2統計機率4.3現代機率論5機率公理6完全機率7貝氏定理8機率分布9機率論的應用10參見11參考文獻生活例子[編輯]人們對機率總是有一點觸摸不清的感覺，而事實上也有很多看似奇異的結果：1;六合彩：在六合彩（49選6）中，一共有13,983,816種可能性（參閱組合數學），如果每周都買一組不相同的號，一年有52周，則在實驗越多次（一直買直到中獎算一次）之後，平均中獎所花的時間會越接近1398381652=268919{\displaystyle{\frac{13983816}{52}}=268919}。
事實上，即使每周買相同的號，獲得頭獎的機率也是相同的。
但假設每周實際中獎的組合都不重複，268919年的算術推論是正確的，這說明機率和
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統計學系列條目概率論概率公理概率空間樣本空間基本事件（英語：Elementary_event）事件隨機變量概率測度對立事件聯合分布邊緣分布條件概率統計獨立性條件獨立全概率公式大數定律貝葉斯定理布爾不等式文氏圖樹形圖閱論編典型的機率問題：「擲一顆公正的骰子，出現3點的機率是多少？」機率論（英語：Probabilitytheory）是集中研究機率及隨機現象的數學分支，是研究隨機性或不確定性等現象的數學。
機率論主要研究物件為隨機事件、隨機變數以及隨機過程。
對於隨機事件是不可能準確預測其結果的[1]，然而對於一系列的獨立隨機事件——例如擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤等，會呈現出一定的、可以被用於研究及預測的規律[2]，兩個用來描述這些規律的最具代表性的數學結論分別是大數法則和中央極限定理。
「機率論」的各地常用別名中國大陸概率論臺灣機率論港澳概率論日本、韓國漢字確率論作為統計學的數學基礎，機率論對諸多涉及大量數據定量分析的人類活動極為重要[3]，機率論的方法同樣適用於其他方面，例如是對只知道系統部分狀態的複雜系統的描述——統計力學，而二十世紀物理學的重大發現是以量子力學所描述的原子尺度上物理現象的機率本質[4]。
數學家和精算師認為機率是在0至1閉區間內的數字，指定給一發生與失敗是隨機的「事件」。
機率P(A){\displaystyleP(A)}根據機率公理來指定給事件A{\displaystyleA}。
一事件A{\displaystyleA}在一事件B{\displaystyleB}確定發生後會發生的機率稱為B{\displaystyleB}給之A{\displaystyleA}的條件機率；其數值為P(B∩A)P(B){\displaystyle{P(B\capA)\overP(B)}}。
若B{\displaystyleB}給之A{\displaystyleA}的條件機率和A{\displaystyleA}的機率相同時，則稱A{\displaystyleA}和B{\displaystyleB}為獨立事件。
且A{\displaystyleA}和B{\displaystyleB}的此一關係為對稱的，這可以由一同價敘述：「當A{\displaystyleA}和B{\displaystyleB}為獨立事件時，P(A∩B)=P(A)P(B){\displaystyleP(A\capB)=P(A)P(B)}。
」中看出。
機率論中的兩個重要概念為隨機變數和隨機變數的機率分布兩種。
目錄1生活例子2歷史3事件3.1單位事件、事件空間、隨機事件3.2事件的計算4機率的定義4.1傳統機率(古典機率)(拉普拉斯機率)4.2統計機率4.3現代機率論5機率公理6完全機率7貝氏定理8機率分布9機率論的應用10參見11參考文獻生活例子[編輯]人們對機率總是有一點觸摸不清的感覺，而事實上也有很多看似奇異的結果：1;六合彩：在六合彩（49選6）中，一共有13,983,816種可能性（參閱組合數學），如果每周都買一組不相同的號，一年有52周，則在實驗越多次（一直買直到中獎算一次）之後，平均中獎所花的時間會越接近1398381652=268919{\displaystyle{\frac{13983816}{52}}=268919}。
事實上，即使每周買相同的號，獲得頭獎的機率也是相同的。
但假設每周實際中獎的組合都不重複，268919年的算術推論是正確的，這說明機率和
2. 第1 章概率論入門：定義與公理
第1 章 概率論入門：定義與公理. Statistics - A subject which most statisticians find difficult but which many physicians are experts on. Stephen S. Senn.在LSHTM的統計學筆記前言我是誰I概率論Probability1概率論入門：定義與公理1.1三個概率公理：1.2條件概率Conditionalprobability1.3獨立(independence)的定義1.4賭博問題1.5賭博問題的答案2Bayes貝葉斯理論的概念3期望Expectation(或均值ormean)和方差Variance3.1方差的性質：4伯努利分佈Bernoullidistribution5二項分佈的概念Binomialdistribution5.1二項分佈的期望和方差5.2超幾何分佈hypergeometricdistribution5.3樂透中獎概率問題：5.3.1如果我只想中其中的\(3\)個號碼，概率有多大？6泊松分佈PoissonDistribution7正（常）態分佈NormalDistribution7.1概率密度曲線probabilitydensityfunction，PDF7.2正（常）態分佈7.3標準正（常）態分佈8中心極限定理theCentralLimitTheorem8.1協方差Covariance8.2相關Correlation8.3中心極限定理theCentralLimitTheorem8.4二項分佈的正（常）態分佈近似8.5泊松分佈的正（常）態分佈近似8.6正（常）態分佈模擬的校正：continuitycorrections8.6.1例題8.7兩個連續隨機變量8.8兩個連續隨機變量例子：8.9條件分佈和邊緣分佈的概念8.10條件分佈和邊緣分佈的例子8.10.1例題II統計推斷Inference9統計推斷的概念9.1人羣與樣本(populationandsample)9.2樣本和統計量(sampleandstatistic)9.3估計Estimation9.4信賴區間confidenceintervals10估計和精確度EstimationandPrecision10.1估計量和他們的樣本分佈10.2估計量的特質10.2.1偏倚10.2.2估計量的效能Efficiency10.2.3均值和中位數的相對效能10.2.4均方差meansquareerror(MSE)10.3總體方差的估計，自由度10.4樣本方差的樣本分佈11卡方分佈Chi-squaredistribution11.1卡方分佈的期望和方差的證明11.2卡方分佈的期望11.3卡方分佈的方差11.3.1下面來求\(E(X_1^4)\)11.4把上面的推導擴展12似然Likelihood12.1概率vs. 推斷abilityvs. Inference12.2似然和極大似然估計Likelihoodandmaximumlikelihoodestimators12.3似然方程的一般化定義12.4對數似然方程log-likelihood12.5極大似然估計(maximumlikelihoodestimator,MLE)的性質：12.6率的似然估計Likelihoodforarate12.7有\(n\)個獨立觀察時的似然方程和對數似然方程13對數似然比Log-likelihoodratio13.1正態分佈數據的極大似然和對數似然比13.2\(n\)個獨立正態分佈樣本的對數似然比13.3\(n\)個獨立正態分佈樣本的對數似然比的分佈13.4似然比信賴區間13.4.1以二項分佈數據爲例13.4.2以正態分佈數據爲例13.5InferencePractical0513.5.1Q113.5.2Q213.5.3Q314二次方程近似法求對數似然比approximatelog-likelihoodratios14.1正態近似法求對數似然Normalapproximationtothelog-likelihood14.1.1近似法估算對數似然比的信賴區間14.1.2以泊松分佈爲例14.1.3以二項分佈爲例14.2參數转换parametertransformations14.2.1以泊松分佈爲例14.2.2以二項分佈爲例14.3InferencePractical0614.3.1Q114.3.2Q215假設檢驗的構建Constructionofahypothesistest15.1什麼是假設檢驗Hypothesistesting15.2錯誤概率和效能方程errorprobabilitiesandthepowerfunction15.2.1以二項分佈爲例15.3如何選擇要檢驗的
3. 38203 概率破玄機，統計解迷離
概率論起源於中世紀的歐洲, 那時盛行擲骰子賭博, 提出了許多有趣的概率問題。
38203概率破玄機，統計解迷離數學傳播傳播數學知識．促進數學教育切換首頁歷年季刊季刊公告▾稿約訂閱資訊勘誤詩歌散文專訪數播線上聯絡我們Search概率破玄機，統計解迷離嚴加安, 2014年6月(150)PDF嚴加安機率論隨機分析金融工程財務數學統計學生日悖論賽局理論合作賽局理論決策理論Bayes’rule問卷設計辛普森悖論統計學的陷阱實驗設計◀章節closesection▶1.什麼是隨機和隨意?2.靠直覺做判斷常常會出錯3.改變生育政策會引起性別比例失衡嗎?4.生日悖論5."三枚銀幣"騙局6.在猜獎遊戲中改猜是否增大中獎概率?7.條件概率和全概率公式8."競賽規則"藏玄機9.為什麼在多人博弈中弱者有時反倒有利?10.計算條件概率的貝葉斯公式11.如何評估疾病診斷的確診率?12.如何設計對敏感性問題的社會調查?13.如何理解社會和大自然中出現的奇蹟?14.從概率學家眼光看"華南虎照事件"15.辛普森悖論16."統計平均"的陷阱(例1)17."統計平均"的陷阱(例2)18.統計調查資料的誤讀19."抽樣調查"的陷阱20.分組混合血標本篩查檢驗21.概率分析在不確定投資決策中並非萬能22.抽樣調查的結論依賴於樣本量的大小概率論起源於中世紀的歐洲,那時盛行擲骰子賭博,提出了許多有趣的概率問題。
當時法國的帕斯卡11BlaisePascal(1623$\sim$1662),法國十七世紀物理、數學、哲學家。
數學成就如射影幾何的Pascal定理,與PierredeFermat是機率論的奠基者。
(BlaisePascal)、費爾馬22PierredeFermat(1601$\sim$1665),法國十七世紀律師與業餘數學家,在解析幾何,機率及光學有顯著的貢獻,更以數論的工作著名。
有名的費瑪最後定理是他在Diophantus'Arithmetica上的眉批。
(PierredeFermat)和旅居巴黎的荷蘭數學家惠更斯33ChristiaanHuygens(1629$\sim$1695),十七世紀荷蘭數學、物理和天文學家。
(ChristiaanHuygens)都對此類問題感興趣,他們用組合數學研究了許多與擲骰子有關的概率計算問題。
20世紀30年代柯爾莫哥洛夫44AndreyNikolaevichKolmogorov(1903$\sim$1983),二十世紀俄國數學家。
其研究領域包括實變函數論、數學基礎論等多個分支。
(AndreyNikolaevichKolmogorov)提出概率公理化,隨後概率論迅速發展成為數學領域裡一個獨立分支。
隨機現象背後是隱藏某些規律的,概率論的一項基本任務就是揭示這些規律。
現在概率論已經發展成為數學領域裡一個相對充滿活力的學科,並且在工程、國防、生物、經濟和金融等領域得到了廣泛的應用。
統計學是一門具有方法論性質的應用性科學,它在概率論基礎上,發展出一系列的原理和方法,研究如何採集和整理反映事物總體資訊的數字資料,並依據這些複雜的資料(稱為樣本)對總體的特徵和現象背後隱藏的規律進行分析和推斷。
法國數學家拉普拉斯55Pierre-SimonmarquisdeLaplace(1749$\sim$1827),法國天文和數學學家,提出拉普拉斯定理。
(Pierre-SimonmarquisdeLaplace)有句名言:"生活中最重要的問題,絕大部分其實只是概率問題"。
當代國際著名的統計學家C.R.勞66C.R.Rao(1920$\sim$),美國統計與數學家。
出生於印度,著有《統計與真理:怎樣運用偶然性》。
(Rao)說過:"如果世界中的事件完全不可預測的隨機發生,則我們的生活是無法忍受的。
而與此相反,如果每一件事都是確定的、完全可以預測的,則我們的生活將是無趣的。
"我長期從事概率論和隨機分析研究,對概率統計學科的本質有些領悟,曾寫過下面這首"悟道詩":隨機非隨意,概率破玄機;無序隱有序,統計解迷離。
本文試圖通過若干日常生活中的一些例子來向大家展示概率是如何破玄機和統計是如何解迷離的。
1.什麼是隨機和隨意?在社會和自然界中,我們經常遇到一些事件,因為有很多不確定的偶然因素很難判斷它會發生或不發生,這樣的事件就是所謂的隨機事件或偶然事件。
概率則是對隨機事件發生的可能性大小的一個度量。
38203概率破玄機，統計解迷離數學傳播傳播數學知識．促進數學教育切換首頁歷年季刊季刊公告▾稿約訂閱資訊勘誤詩歌散文專訪數播線上聯絡我們Search概率破玄機，統計解迷離嚴加安, 2014年6月(150)PDF嚴加安機率論隨機分析金融工程財務數學統計學生日悖論賽局理論合作賽局理論決策理論Bayes’rule問卷設計辛普森悖論統計學的陷阱實驗設計◀章節closesection▶1.什麼是隨機和隨意?2.靠直覺做判斷常常會出錯3.改變生育政策會引起性別比例失衡嗎?4.生日悖論5."三枚銀幣"騙局6.在猜獎遊戲中改猜是否增大中獎概率?7.條件概率和全概率公式8."競賽規則"藏玄機9.為什麼在多人博弈中弱者有時反倒有利?10.計算條件概率的貝葉斯公式11.如何評估疾病診斷的確診率?12.如何設計對敏感性問題的社會調查?13.如何理解社會和大自然中出現的奇蹟?14.從概率學家眼光看"華南虎照事件"15.辛普森悖論16."統計平均"的陷阱(例1)17."統計平均"的陷阱(例2)18.統計調查資料的誤讀19."抽樣調查"的陷阱20.分組混合血標本篩查檢驗21.概率分析在不確定投資決策中並非萬能22.抽樣調查的結論依賴於樣本量的大小概率論起源於中世紀的歐洲,那時盛行擲骰子賭博,提出了許多有趣的概率問題。
當時法國的帕斯卡11BlaisePascal(1623$\sim$1662),法國十七世紀物理、數學、哲學家。
數學成就如射影幾何的Pascal定理,與PierredeFermat是機率論的奠基者。
(BlaisePascal)、費爾馬22PierredeFermat(1601$\sim$1665),法國十七世紀律師與業餘數學家,在解析幾何,機率及光學有顯著的貢獻,更以數論的工作著名。
有名的費瑪最後定理是他在Diophantus'Arithmetica上的眉批。
(PierredeFermat)和旅居巴黎的荷蘭數學家惠更斯33ChristiaanHuygens(1629$\sim$1695),十七世紀荷蘭數學、物理和天文學家。
(ChristiaanHuygens)都對此類問題感興趣,他們用組合數學研究了許多與擲骰子有關的概率計算問題。
20世紀30年代柯爾莫哥洛夫44AndreyNikolaevichKolmogorov(1903$\sim$1983),二十世紀俄國數學家。
其研究領域包括實變函數論、數學基礎論等多個分支。
(AndreyNikolaevichKolmogorov)提出概率公理化,隨後概率論迅速發展成為數學領域裡一個獨立分支。
隨機現象背後是隱藏某些規律的,概率論的一項基本任務就是揭示這些規律。
現在概率論已經發展成為數學領域裡一個相對充滿活力的學科,並且在工程、國防、生物、經濟和金融等領域得到了廣泛的應用。
統計學是一門具有方法論性質的應用性科學,它在概率論基礎上,發展出一系列的原理和方法,研究如何採集和整理反映事物總體資訊的數字資料,並依據這些複雜的資料(稱為樣本)對總體的特徵和現象背後隱藏的規律進行分析和推斷。
法國數學家拉普拉斯55Pierre-SimonmarquisdeLaplace(1749$\sim$1827),法國天文和數學學家,提出拉普拉斯定理。
(Pierre-SimonmarquisdeLaplace)有句名言:"生活中最重要的問題,絕大部分其實只是概率問題"。
當代國際著名的統計學家C.R.勞66C.R.Rao(1920$\sim$),美國統計與數學家。
出生於印度,著有《統計與真理:怎樣運用偶然性》。
(Rao)說過:"如果世界中的事件完全不可預測的隨機發生,則我們的生活是無法忍受的。
而與此相反,如果每一件事都是確定的、完全可以預測的,則我們的生活將是無趣的。
"我長期從事概率論和隨機分析研究,對概率統計學科的本質有些領悟,曾寫過下面這首"悟道詩":隨機非隨意,概率破玄機;無序隱有序,統計解迷離。
本文試圖通過若干日常生活中的一些例子來向大家展示概率是如何破玄機和統計是如何解迷離的。
1.什麼是隨機和隨意?在社會和自然界中,我們經常遇到一些事件,因為有很多不確定的偶然因素很難判斷它會發生或不發生,這樣的事件就是所謂的隨機事件或偶然事件。
概率則是對隨機事件發生的可能性大小的一個度量。
4. 博客來-概率與統計（第二版）（概率論分冊）
書名：概率與統計（第二版）（概率論分冊），語言：簡體中文，ISBN：9787301284100，頁數：312，出版社：北京大學出版社，作者：陳家鼎,鄭忠國，出版 ...ErrorErrorThispagecan'tbedisplayed.Contactsupportforadditionalinformation.TheEventIDis:6862205497041938982.TheSessionIDis:N/A.
5. 博客來-概率論
本書是高等院校「概率論」基礎課的教材。
全書共分六章，內容包括：古典概型和概率空間、隨機變量和概率分布、隨機向量及其分布、數學期望和方差、特征函數 ...ErrorErrorThispagecan'tbedisplayed.Contactsupportforadditionalinformation.TheEventIDis:6862205497041961748.TheSessionIDis:N/A.
全書共分六章，內容包括：古典概型和概率空間、隨機變量和概率分布、隨機向量及其分布、數學期望和方差、特征函數 ...ErrorErrorThispagecan'tbedisplayed.Contactsupportforadditionalinformation.TheEventIDis:6862205497041961748.TheSessionIDis:N/A.
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...顯示全部ChevronDown数据分析机器学习您目前正在瀏覽幻燈片1獲得您的學位MScinMachineLearningfromImperialCollegeLondon100%在線BachelorofScienceinComputerSciencefromtheUniversityofLondon100%在線MasterofDataandNetworkAnalysisfromHSEUniversity100%在線MBAinBusinessAnalyticsfromO.P.JindalGlobalUniversity100%在線MasterofComputerSciencefromArizonaStateUniversity100%在線MasterofComputerScienceinDataSciencefromtheUniversityofIllinoisatUrbana-Champaign100%在線MasterofAppliedDataSciencefromtheUniversityofMichigan100%在線MaestríaenInteligenciaAnalíticadeDatosfromUniversidaddelosAndes100%在線MasterofScienceinDataSciencefromtheUniversityofColoradoBoulder100%在線MasterofDataSciencefromHSEUniversity100%在線MScinMachineLearningfromImperialCollegeLondon100%在線BachelorofScienceinComputerSciencefromtheUniversityofLondon100%在線MasterofDataandNetworkAnalysisfromHSEUniversity100%在線MBAinBusinessAnalyticsfromO.P.JindalGlobalUniversity100%在線MasterofComputerSciencefromArizonaStateUniversity100%在線MasterofComputerScienceinDataSciencefromtheUniversityofIllinoisatUrbana-Champaign100%在線MasterofAppliedDataSciencefromtheUniversityofMichigan100%在線MaestríaenInteligenciaAnalíticadeDatosfromUniversidaddelosAndes100%在線MasterofScienceinDataSciencefromtheUniversityofColoradoBoulder100%在線MasterofDataSciencefromHSEUniversity100%在線MScinMachineLearningfromImperialCollegeLondon100%在線BachelorofScienceinComputerSciencefromtheUniversityofLondon100%在線MasterofDataandNetworkAnalysisfromHSEUniversity100%在線MBAinBusinessAnalyticsfromO.P.JindalGlobalUniversity100%在線123您目前正在瀏覽幻燈片1概率论与数理统计中最受歡迎的證書社会科学的方法和统计UniversityofAmsterdam專項課程（5門課程）LearnSQLBasicsforDataScienceUniversityofCalifornia,Davis專項課程（4門課程）BusinessStatisticsandAnalysisRiceUniversity專項課程（5門課程）RProgrammingJohnsHopkinsUniversity課程DataScienceFundamentalswithPythonandSQLIBM專項課程（4門課程）Statisticswi
7. 概率論
概率論(Probability theory)研究隨機現象數量規律的數學分支。
隨機現象是指這樣的客觀現象，當人們觀察它時，所得的結果不能預先確定，而只是多種可能結果中 ...概率論用手机看条目扫一扫，手机看条目出自MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)概率論(Probabilitytheory)目錄1概率論2概率論發展簡史3概率論公理化體系的建立4現代概率論的內容5現代概率論的應用6概率論的案例分析[1]7參考文獻[編輯]概率論 研究隨機現象數量規律的數學分支。
隨機現象是指這樣的客觀現象，當人們觀察它時，所得的結果不能預先確定，而只是多種可能結果中的一種。
在自然界和人類社會中，存在著大量的隨機現象。
例如,擲一硬幣,可能出現正面或反面；測量一物體長度，由於儀器及觀察受到環境的影響，每次測量結果可能有差異；在同一工藝條件下生產出的燈泡,其壽命長短參差不齊;等等。
這些都是隨機現象。
隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗,隨機試驗的每一可能結果稱為一個基本事件,一個或一組基本事件又通稱隨機事件，或簡稱事件。
事件的概率則是衡量該事件發生的可能性的量度。
雖然在一次隨機試驗中發生某個事件是帶有偶然性的，但那些可以在相同條件下大量重覆的隨機試驗卻往往呈現出明顯的數量規律性。
人們在長期實踐中已逐步覺察到某些這樣的規律性，併在實際中應用它。
例如，連續多次擲一均勻的硬幣，出現正面的頻率（出現次數與投擲次數之比）隨著投擲次數的增加逐漸穩定於1/2。
又如,多次測量一物體的長度，其測量結果的平均值隨著測量次數的增加，逐漸穩定於一常數，並且諸測量值大都落在此常數的近旁，越遠則越少，因之其分佈狀況呈現“中間大、兩頭小”及某種程度的對稱性(即近似於正態分佈)。
大數律及中心極限定理就是描述和論證這些規律性的。
在實際中，人們往往還需要研究在時間推進中某一特定隨機現象的演變情況，描述這種演變的就是概率論中的隨機過程。
例如，某一電話交換台從一確定時刻起到其後的每一時刻為止所收到的呼喚次數便是一隨機過程。
又如，微小粒子在液體中因受周圍分子的隨機碰撞而形成不規則的運動（即布朗運動）也是一隨機過程。
研究隨機過程的統計特性，計算與過程有關的某些事件的概率，特別是研究與過程樣本軌道（即過程的一次實現）有關的問題，是現代概率論的主要課題。
總之，概率論與實際有著密切的聯繫，它在自然科學、技術科學、社會科學、軍事和工農業生產中都有廣泛的應用。
概率論還是數理統計學的理論基礎。
[編輯]概率論發展簡史 概率論有悠久的歷史，它的起源與博弈問題有關。
16世紀，義大利的一些學者開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題，例如比較擲兩個骰子出現總點數為9或10的可能性大小。
17世紀中葉，法國數學家布萊茲·帕斯卡爾、P.de費馬及荷蘭數學家C.惠更斯基於排列組合的方法(見組合數學)研究了一些較複雜的賭博問題，他們解決了“合理分配賭註問題”（即“得分問題”，見概率）、“輸光問題”等等。
其方法不是直接計算賭徒贏局的概率，而是計算期望的贏值，從而導致了現今稱之為數學期望的概念（由惠更斯明確提出）。
使概率論成為數學的一個分支的真正奠基人則是瑞士數學家雅各布第一·伯努利,他建立了概率論中第一個極限定理,即伯努利大數律；該定理斷言:設事件A的概率P(A)=p(0
這一結果發表於他死後8年(1713)出版的遺著《推測術》(Arsconjectandi)中。
這裡所說的事件的概率,應理解為事件發生的機會的一個測度,即公理化概率測度(詳見後)。
1716年前後,A.棣莫弗對p=1/2情形,用他導出的關於n!的漸近公式(，即所謂斯特林公式)進一步證明瞭漸近地服從正態分佈（德國數學家C.F.高斯於1809年研究測量誤差理論時重新導出正態分佈，所以也稱為高斯分佈）。
亞伯拉罕·棣莫弗的這一結果後來被法國數學家P.-S.拉普拉斯推廣到一般的p(0
皮埃爾-西蒙·拉普拉斯對概率論的發展貢獻很大。
他在系統總結前人工作的
隨機現象是指這樣的客觀現象，當人們觀察它時，所得的結果不能預先確定，而只是多種可能結果中 ...概率論用手机看条目扫一扫，手机看条目出自MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)概率論(Probabilitytheory)目錄1概率論2概率論發展簡史3概率論公理化體系的建立4現代概率論的內容5現代概率論的應用6概率論的案例分析[1]7參考文獻[編輯]概率論 研究隨機現象數量規律的數學分支。
隨機現象是指這樣的客觀現象，當人們觀察它時，所得的結果不能預先確定，而只是多種可能結果中的一種。
在自然界和人類社會中，存在著大量的隨機現象。
例如,擲一硬幣,可能出現正面或反面；測量一物體長度，由於儀器及觀察受到環境的影響，每次測量結果可能有差異；在同一工藝條件下生產出的燈泡,其壽命長短參差不齊;等等。
這些都是隨機現象。
隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗,隨機試驗的每一可能結果稱為一個基本事件,一個或一組基本事件又通稱隨機事件，或簡稱事件。
事件的概率則是衡量該事件發生的可能性的量度。
雖然在一次隨機試驗中發生某個事件是帶有偶然性的，但那些可以在相同條件下大量重覆的隨機試驗卻往往呈現出明顯的數量規律性。
人們在長期實踐中已逐步覺察到某些這樣的規律性，併在實際中應用它。
例如，連續多次擲一均勻的硬幣，出現正面的頻率（出現次數與投擲次數之比）隨著投擲次數的增加逐漸穩定於1/2。
又如,多次測量一物體的長度，其測量結果的平均值隨著測量次數的增加，逐漸穩定於一常數，並且諸測量值大都落在此常數的近旁，越遠則越少，因之其分佈狀況呈現“中間大、兩頭小”及某種程度的對稱性(即近似於正態分佈)。
大數律及中心極限定理就是描述和論證這些規律性的。
在實際中，人們往往還需要研究在時間推進中某一特定隨機現象的演變情況，描述這種演變的就是概率論中的隨機過程。
例如，某一電話交換台從一確定時刻起到其後的每一時刻為止所收到的呼喚次數便是一隨機過程。
又如，微小粒子在液體中因受周圍分子的隨機碰撞而形成不規則的運動（即布朗運動）也是一隨機過程。
研究隨機過程的統計特性，計算與過程有關的某些事件的概率，特別是研究與過程樣本軌道（即過程的一次實現）有關的問題，是現代概率論的主要課題。
總之，概率論與實際有著密切的聯繫，它在自然科學、技術科學、社會科學、軍事和工農業生產中都有廣泛的應用。
概率論還是數理統計學的理論基礎。
[編輯]概率論發展簡史 概率論有悠久的歷史，它的起源與博弈問題有關。
16世紀，義大利的一些學者開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題，例如比較擲兩個骰子出現總點數為9或10的可能性大小。
17世紀中葉，法國數學家布萊茲·帕斯卡爾、P.de費馬及荷蘭數學家C.惠更斯基於排列組合的方法(見組合數學)研究了一些較複雜的賭博問題，他們解決了“合理分配賭註問題”（即“得分問題”，見概率）、“輸光問題”等等。
其方法不是直接計算賭徒贏局的概率，而是計算期望的贏值，從而導致了現今稱之為數學期望的概念（由惠更斯明確提出）。
使概率論成為數學的一個分支的真正奠基人則是瑞士數學家雅各布第一·伯努利,他建立了概率論中第一個極限定理,即伯努利大數律；該定理斷言:設事件A的概率P(A)=p(0
這一結果發表於他死後8年(1713)出版的遺著《推測術》(Arsconjectandi)中。
這裡所說的事件的概率,應理解為事件發生的機會的一個測度,即公理化概率測度(詳見後)。
1716年前後,A.棣莫弗對p=1/2情形,用他導出的關於n!的漸近公式(，即所謂斯特林公式)進一步證明瞭漸近地服從正態分佈（德國數學家C.F.高斯於1809年研究測量誤差理論時重新導出正態分佈，所以也稱為高斯分佈）。
亞伯拉罕·棣莫弗的這一結果後來被法國數學家P.-S.拉普拉斯推廣到一般的p(0
皮埃爾-西蒙·拉普拉斯對概率論的發展貢獻很大。
他在系統總結前人工作的
8. 概率论
概率论. 语言 · 监视 · 编辑 · 首页 > 維基書架 > 数学书架 > 概率论. Wikipedia-logo.png. 维基百科中的相关条目：. 概率论. 随机事件及其概率编辑. 在概率论里必须先 ...概率论维基教科书，自由的教学读本跳到导航跳到搜索首页>維基書架>数学书架>概率论维基百科中的相关条目：概率论随机事件及其概率[编辑]在概率论里必须先定义一个可测空间Ω{\displaystyle\Omega}在F{\displaystyle{\mathcal{F}}}中；如果一个集合A{\displaystyleA}在F{\displaystyle{\mathcal{F}}}中，那么它的补集Ac{\displaystyleA^{c}}也在F{\displaystyle{\mathcal{F}}}中；如果有可数个集合A1,A2,⋯,An⋯{\displaystyleA_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\cdots}都在F{\displaystyle{\mathcal{F}}}中，那么它们的并集也在F{\displaystyle{\mathcal{F}}}中。
用数学语言来表示，就是Ω∈F;{\displaystyle\Omega\in{\mathcal{F}};}A∈F⇒Ac∈F;{\displaystyleA\in{\mathcal{F}}\RightarrowA^{c}\in{\mathcal{F}};}(∀n∈N An∈F)⇒⋃n=1∞An∈F.{\displaystyle(\foralln\in\mathbb{N}~~~A_{n}\in{\mathcal{F}})\Rightarrow\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_{n}\in{\mathcal{F}}.}记号(X,F){\displaystyle\left(X,{\mathcal{F}}\right)}称为一个可测空间。
(Ω,F,P){\displaystyle(\Omega,{\mathcal{F}},P)}称为概率空间，如果P{\displaystyleP}是一个概率测度，也就是说它必须符合空集的测度为零：P(∅)=0{\displaystyleP(\emptyset)=0}。
σ{\displaystyle\sigma}可加性：若A1,A2,⋯{\displaystyleA_{1},A_{2},\cdots}为F{\displaystyle{\mathcal{F}}}中可数个两两不交的集合的序列，则所有Ai {\displaystyleA_{i}\}的并集的测度，等于每个Ai {\displaystyleA_{i}\}的测度之总和：P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai){\displaystyleP(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})}空集的测度为零：μ(∅)=0{\displaystyle\mu(\emptyset)=0}。
值在0和1之间并且P(Ω)=1{\displaystyleP(\Omega)=1}随机变量是一个F{\displaystyle{\mathcal{F}}}可测的函数。
概率空间的定义符合我们对日常所说的概率的公理。
我们称Ω{\displaystyle\Omega}为样本空间，F{\displaystyle{\mathcal{F}}}为事件集合，其子集为随机事件。
以扔硬币为例：如果是一个有A,B{\displaystyleA,B}两面的硬币。
Ω={A,B}{\displaystyle\Omega=\{A,B\}}。
假设我们赌“A{\displaystyleA}”，如果赢的话可以得到一块钱，输的话我们就输一块钱，这种情况可以用一个随机变量X:Ω→R{\displaystyleX:\Omega\rightarrow\mathbb{R}}来表示。
X(A)=1{\displaystyleX(A)=1}，X(B)=−1{\displaystyleX(B)=-1}如果这个硬币没有做过手脚那么随机事件A{\displaystyleA}的概率P(A)=P(X=−1)=0.5{\displaystyleP(A)=P(X=-1)=0.5},随机事件B{\displaystyleB}的概率P(B)=P(X=−1)=0.5{\displaystyleP(B)=P(X=-1)=0.5}.符合σ{\displaystyle\sigma}可加性。
如果我们同时扔两个硬币Ω=
用数学语言来表示，就是Ω∈F;{\displaystyle\Omega\in{\mathcal{F}};}A∈F⇒Ac∈F;{\displaystyleA\in{\mathcal{F}}\RightarrowA^{c}\in{\mathcal{F}};}(∀n∈N An∈F)⇒⋃n=1∞An∈F.{\displaystyle(\foralln\in\mathbb{N}~~~A_{n}\in{\mathcal{F}})\Rightarrow\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_{n}\in{\mathcal{F}}.}记号(X,F){\displaystyle\left(X,{\mathcal{F}}\right)}称为一个可测空间。
(Ω,F,P){\displaystyle(\Omega,{\mathcal{F}},P)}称为概率空间，如果P{\displaystyleP}是一个概率测度，也就是说它必须符合空集的测度为零：P(∅)=0{\displaystyleP(\emptyset)=0}。
σ{\displaystyle\sigma}可加性：若A1,A2,⋯{\displaystyleA_{1},A_{2},\cdots}为F{\displaystyle{\mathcal{F}}}中可数个两两不交的集合的序列，则所有Ai {\displaystyleA_{i}\}的并集的测度，等于每个Ai {\displaystyleA_{i}\}的测度之总和：P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai){\displaystyleP(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})}空集的测度为零：μ(∅)=0{\displaystyle\mu(\emptyset)=0}。
值在0和1之间并且P(Ω)=1{\displaystyleP(\Omega)=1}随机变量是一个F{\displaystyle{\mathcal{F}}}可测的函数。
概率空间的定义符合我们对日常所说的概率的公理。
我们称Ω{\displaystyle\Omega}为样本空间，F{\displaystyle{\mathcal{F}}}为事件集合，其子集为随机事件。
以扔硬币为例：如果是一个有A,B{\displaystyleA,B}两面的硬币。
Ω={A,B}{\displaystyle\Omega=\{A,B\}}。
假设我们赌“A{\displaystyleA}”，如果赢的话可以得到一块钱，输的话我们就输一块钱，这种情况可以用一个随机变量X:Ω→R{\displaystyleX:\Omega\rightarrow\mathbb{R}}来表示。
X(A)=1{\displaystyleX(A)=1}，X(B)=−1{\displaystyleX(B)=-1}如果这个硬币没有做过手脚那么随机事件A{\displaystyleA}的概率P(A)=P(X=−1)=0.5{\displaystyleP(A)=P(X=-1)=0.5},随机事件B{\displaystyleB}的概率P(B)=P(X=−1)=0.5{\displaystyleP(B)=P(X=-1)=0.5}.符合σ{\displaystyle\sigma}可加性。
如果我们同时扔两个硬币Ω=
9. 概率論與數理統計（簡體書）
書名：概率論與數理統計（簡體書），ISBN：9787030262493，出版社：科學出版社，作者：劉舒強、金明愛，頁數：243，出版日期：2019/12/26.TOP瀏覽紀錄PrevNext企業採購會員專區加入會員會員登入紅利兌換藝文講座學習網三民東大親子外文簡體文具禮品生活市集漫畫教科考用政府出版香港出版大學出版得獎作品暢銷榜新品套書加價購三民網路書店服務公司簡介會員服務條款資訊安全警語隱私權政策異業合作圖書採購/編目三民禮券兌換處好站連結企業客戶專區企業會員登入加入企業會員企業客戶服務條款企業採購會員須知門市專區圖書目錄下載三民‧東大‧弘雅古籍‧古典✖暢銷榜客服中心收藏購物車會員專區全部商品名稱ISBN作者出版社/品牌繁體書簡體書港版書文具/禮品生活市集設計文創影音商品標籤紅利兌換商品促銷活動GO進階搜尋熱搜：滿$800現折$50、管管、中醫到底行不行？、離人‧離島、漫話國寶、故宮裡的色彩美學、戴逸群解讀攻略、百歲奶奶上學去、佛家哲理通析、淋巴按摩法、英單快拆法、阿里山植物圖誌(首刷贈化妝包)、簡體書夏特賣、醫療口罩、龜毛機構設計關鍵字商品名稱ISBN作者出版社/品牌繁體書簡體書港版書文具/禮品生活市集設計文創影音商品標籤紅利兌換商品促銷活動滿$800現折$50、管管、中醫到底行不行？、離人‧離島、漫話國寶、故宮裡的色彩美學、戴逸群解讀攻略、百歲奶奶上學去、佛家哲理通析、淋巴按摩法、英單快拆法、阿里山植物圖誌(首刷贈化妝包)、簡體書夏特賣、醫療口罩、龜毛機構設計三民東大親子外文簡體文具禮品生活市集漫畫教科考用政府出版香港出版大學出版得獎作品暢銷榜新品套書加價購三民東大親子外文簡體文具禮品首頁三民東大親子外文簡體文具禮品生活市集漫畫教科考用政府出版香港出版大學出版中文書分類簡體書分類外文書分類得獎作品藝文講座NEW《破解動物忍術》入選「2021台積電盃青年尬科學」科普書籍閱讀寫作競賽指定書目NEW中研院首位戲曲院士曾永義新書分享會》5/7(五)上午10點國家圖書館NEW【講座】插畫「書」出：5/16(日)郭飛飛國內外繪本出版經驗談NEW最溫馨勵志的青少年奇幻作品《遇見虎靈的女孩》獲2021紐伯瑞獎！165反詐騙1/1無庫存，下單後進貨(採購期約45個工作天)收藏加入購物車概率論與數理統計（簡體書）系列名：21世紀高等院校教材ISBN13：9787030262493出版社：科學出版社作者：劉舒強;金明愛裝訂／頁數：平裝／243頁規格：24cm*17cm(高/寬)版次：第1版出版日：2021/01/29關鍵字：概率論與數理統計（簡體書）、概率、數理、統計、簡體、科學出版社、劉舒強、金明愛、簡體書、電腦〈計算機〉、統計/會計/工程/數學分析、簡體書：電腦〈計算機〉>統計/會計/工程/數學分析發表評論人民幣定價：29元定 價：NT$174元優惠價：87折151元可得紅利積點：4點無庫存，下單後進貨(採購期約45個工作天)一般購物車加入收藏商品簡介目次本書是依照高等院校財經類專業的數學教學大綱并緊密聯系碩士研究生入學考試數學考試大綱編寫而成的。
在基本內容與習題的編排上均力爭與這兩個大綱及有關專業的具體要求相適應。
本書內容包括：隨機事件及其概率、隨機變量及其分布、多維隨機變量、隨機變量的數字特徵、大數定律及中心極限定理、數理統計基本概念、參數估計、假設檢驗、方差分析及回歸分析等知識，根據教學的不同需要，供選擇講授的部分用“*”號作了標志。
本書可作為高等院校經濟管理類專業本科生的概率論與數理統計教材，也可作為學時相近的工科專業本科生的教材及相關專業的研究生參考書。
前言第1章隨機事件及其概率1.1隨機事件及其運算1.2隨機事件的概率1.3古典概型和幾何概型1.4條件概率與全概率分式1.5隨機事件的獨立性1.6伯努利概型小結習題1第2章隨機變量及其分布2.1隨機變量及其分布函數的概念2.2離散型隨機變量及其概率分布2.3幾種常見的離散性隨機變量的概率分布2.4連續型隨機變量及其概率密度2.5幾種重要的連續型隨機變量的分布2.6隨機變量函數的分布小結習題2第3章多維隨機變量3.1二維隨機變量及其分布3.2條件分布3.3隨機變量的獨立性3.4二維隨機變量函數的分布小結習題3第4章隨機變量的數字特徵4.1數學期望及其性質4.2方差及其性質4.3幾種重要分布的數學期望與方差4.4協方差與相關係數4.5矩、協方差矩陣小結習題4第5章大數定律及中心極限定理5.1切比雪夫不等式5.2大數定律5.3中心極限定理小結習題5第6章數理統計基本概念6.1隨機樣本6.2抽樣分布小結習題6第7章參數估計7.1參數的點估計7.2參數估計量的評價準則7.3參數的區間估計小結習題7第8章假設檢驗8.1假設檢驗
在基本內容與習題的編排上均力爭與這兩個大綱及有關專業的具體要求相適應。
本書內容包括：隨機事件及其概率、隨機變量及其分布、多維隨機變量、隨機變量的數字特徵、大數定律及中心極限定理、數理統計基本概念、參數估計、假設檢驗、方差分析及回歸分析等知識，根據教學的不同需要，供選擇講授的部分用“*”號作了標志。
本書可作為高等院校經濟管理類專業本科生的概率論與數理統計教材，也可作為學時相近的工科專業本科生的教材及相關專業的研究生參考書。
前言第1章隨機事件及其概率1.1隨機事件及其運算1.2隨機事件的概率1.3古典概型和幾何概型1.4條件概率與全概率分式1.5隨機事件的獨立性1.6伯努利概型小結習題1第2章隨機變量及其分布2.1隨機變量及其分布函數的概念2.2離散型隨機變量及其概率分布2.3幾種常見的離散性隨機變量的概率分布2.4連續型隨機變量及其概率密度2.5幾種重要的連續型隨機變量的分布2.6隨機變量函數的分布小結習題2第3章多維隨機變量3.1二維隨機變量及其分布3.2條件分布3.3隨機變量的獨立性3.4二維隨機變量函數的分布小結習題3第4章隨機變量的數字特徵4.1數學期望及其性質4.2方差及其性質4.3幾種重要分布的數學期望與方差4.4協方差與相關係數4.5矩、協方差矩陣小結習題4第5章大數定律及中心極限定理5.1切比雪夫不等式5.2大數定律5.3中心極限定理小結習題5第6章數理統計基本概念6.1隨機樣本6.2抽樣分布小結習題6第7章參數估計7.1參數的點估計7.2參數估計量的評價準則7.3參數的區間估計小結習題7第8章假設檢驗8.1假設檢驗