中央極限定理 | 中央極限定理舉例
中央極限定理(Central limit theorem, 簡作CLT) 是機率論中的一組定理。
中央極限定理說明，在適當的條件下，大量相互獨立隨機變數的均值經適當標準化後依分布 ...中央極限定理維基百科，自由的百科全書跳至導覽跳至搜尋本圖描繪了多次拋擲硬幣實驗中出現正面的平均比率，每次實驗均拋擲了大量硬幣。
中央極限定理(Centrallimittheorem,簡作CLT)是機率論中的一組定理。
中央極限定理說明，在適當的條件下，大量相互獨立隨機變數的均值經適當標準化後依分布收斂於常態分布。
這組定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變數之和近似服從常態分布的條件。
目錄1歷史2棣莫佛－拉普拉斯定理2.1內容2.2在高爾頓板問題上的應用3林德伯格－列維定理3.1內容3.2證明4林德伯格-費勒定理4.1內容4.2證明5參閱6參考文獻7外部連結歷史[編輯]Tijms(2004,p.169)寫到：“中央極限定理有著有趣的歷史。
這個定理的第一版被法國數學家棣美弗發現，他在1733年發表的卓越論文中使用常態分布去估計大量拋擲硬幣出現正面次數的分布。
這個超越時代的成果險些被歷史遺忘，所幸著名法國數學家拉普拉斯在1812年發表的巨著ThéorieAnalytiquedesProbabilités中拯救了這個默默無名的理論。
拉普拉斯擴展了棣美弗的理論，指出二項分布可用常態分布逼近。
但同棣美弗一樣，拉普拉斯的發現在當時並未引起很大反響。
直到十九世紀末中央極限定理的重要性才被世人所知。
1901年，俄國數學家里雅普諾夫用更普通的隨機變數定義中央極限定理並在數學上進行了精確的證明。
如今，中央極限定理被認為是(非正式地)機率論中的首席定理。
”棣莫佛－拉普拉斯定理[編輯]用常態分布逼近二項分布棣莫佛－拉普拉斯（deMoivre-Laplace）定理是中央極限定理的最初版本，討論了服從二項分布的隨機變數序列。
它指出，參數為n,p的二項分布以np為均值、np(1-p)為變異數的常態分布為極限。
內容[編輯]若X∼B(n,p){\displaystyleX\simB(n,p)}是n{\displaystylen}次伯努利實驗中事件A出現的次數，每次試驗成功的機率為p{\displaystylep}，且q=1−p{\displaystyleq=1-p}，則對任意有限區間[a,b]{\displaystyle[a,b]}：令xk≡k−npnpq{\displaystylex_{k}\equiv{\frac{k-np}{\sqrt{npq}}}}，當n→∞{\displaystylen\to{\infty}}時(i)P(X=k)→1npq⋅12πe−12xμn2{\displaystyleP(X=k)\to{\frac{1}{\sqrt{npq}}}\cdot{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}e^{-{\frac{1}{2}}x_{\mu_{n}}^{2}}}(ii)P(a≤X−npnpq≤b)→∫abφ(x)dx{\displaystyleP(a\leq{\frac{X-np}{\sqrt{npq}}}\leq{b})\to\int_{a}^{b}\varphi(x)dx}，其中φ(x)=12πe−x22(−∞
棣美弗－拉普拉斯定理指出二項分布的極限為常態分布。
高爾頓板可以看作是伯努利試驗的實驗模型。
如果我們把小球碰到釘子看作一次實驗，而把從右邊落下算是成功，從左邊落下看作失敗，就有了一次p=12{\displaystylep={\frac{1}{2}}}的伯努利試驗。
小球從頂端到底層共需要經過n排釘子，這就相當於一個n次伯努利試驗。
小球的高度曲線也就可以看作二項分布隨機變數的機率密度函數。
因此，中央極限定理解釋了高爾頓板小球累積高度曲線為什麼是常態分布獨有的鐘形曲線。
林德伯格－列維定理[編輯]中央極限定理的動態展示，獨立同分布隨機變數之和趨近常態分布。
林德伯格－列維（Lindeberg-Levy）定理，是棣莫佛－拉普
中央極限定理說明，在適當的條件下，大量相互獨立隨機變數的均值經適當標準化後依分布 ...中央極限定理維基百科，自由的百科全書跳至導覽跳至搜尋本圖描繪了多次拋擲硬幣實驗中出現正面的平均比率，每次實驗均拋擲了大量硬幣。
中央極限定理(Centrallimittheorem,簡作CLT)是機率論中的一組定理。
中央極限定理說明，在適當的條件下，大量相互獨立隨機變數的均值經適當標準化後依分布收斂於常態分布。
這組定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變數之和近似服從常態分布的條件。
目錄1歷史2棣莫佛－拉普拉斯定理2.1內容2.2在高爾頓板問題上的應用3林德伯格－列維定理3.1內容3.2證明4林德伯格-費勒定理4.1內容4.2證明5參閱6參考文獻7外部連結歷史[編輯]Tijms(2004,p.169)寫到：“中央極限定理有著有趣的歷史。
這個定理的第一版被法國數學家棣美弗發現，他在1733年發表的卓越論文中使用常態分布去估計大量拋擲硬幣出現正面次數的分布。
這個超越時代的成果險些被歷史遺忘，所幸著名法國數學家拉普拉斯在1812年發表的巨著ThéorieAnalytiquedesProbabilités中拯救了這個默默無名的理論。
拉普拉斯擴展了棣美弗的理論，指出二項分布可用常態分布逼近。
但同棣美弗一樣，拉普拉斯的發現在當時並未引起很大反響。
直到十九世紀末中央極限定理的重要性才被世人所知。
1901年，俄國數學家里雅普諾夫用更普通的隨機變數定義中央極限定理並在數學上進行了精確的證明。
如今，中央極限定理被認為是(非正式地)機率論中的首席定理。
”棣莫佛－拉普拉斯定理[編輯]用常態分布逼近二項分布棣莫佛－拉普拉斯（deMoivre-Laplace）定理是中央極限定理的最初版本，討論了服從二項分布的隨機變數序列。
它指出，參數為n,p的二項分布以np為均值、np(1-p)為變異數的常態分布為極限。
內容[編輯]若X∼B(n,p){\displaystyleX\simB(n,p)}是n{\displaystylen}次伯努利實驗中事件A出現的次數，每次試驗成功的機率為p{\displaystylep}，且q=1−p{\displaystyleq=1-p}，則對任意有限區間[a,b]{\displaystyle[a,b]}：令xk≡k−npnpq{\displaystylex_{k}\equiv{\frac{k-np}{\sqrt{npq}}}}，當n→∞{\displaystylen\to{\infty}}時(i)P(X=k)→1npq⋅12πe−12xμn2{\displaystyleP(X=k)\to{\frac{1}{\sqrt{npq}}}\cdot{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}e^{-{\frac{1}{2}}x_{\mu_{n}}^{2}}}(ii)P(a≤X−npnpq≤b)→∫abφ(x)dx{\displaystyleP(a\leq{\frac{X-np}{\sqrt{npq}}}\leq{b})\to\int_{a}^{b}\varphi(x)dx}，其中φ(x)=12πe−x22(−∞
棣美弗－拉普拉斯定理指出二項分布的極限為常態分布。
高爾頓板可以看作是伯努利試驗的實驗模型。
如果我們把小球碰到釘子看作一次實驗，而把從右邊落下算是成功，從左邊落下看作失敗，就有了一次p=12{\displaystylep={\frac{1}{2}}}的伯努利試驗。
小球從頂端到底層共需要經過n排釘子，這就相當於一個n次伯努利試驗。
小球的高度曲線也就可以看作二項分布隨機變數的機率密度函數。
因此，中央極限定理解釋了高爾頓板小球累積高度曲線為什麼是常態分布獨有的鐘形曲線。
林德伯格－列維定理[編輯]中央極限定理的動態展示，獨立同分布隨機變數之和趨近常態分布。
林德伯格－列維（Lindeberg-Levy）定理，是棣莫佛－拉普