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1. R語言應用: 利用Monte Carlo 模擬驗證中央極限定理-高點研究所
給定n 足夠大時(sufci entlylarge),. 意即只要樣本數夠大, 樣本平均的抽樣分配將”看起來”像常態分配。
但不是任意分配與任意樣本數均適用中央極限定理。
舉例來說,.R語言應用:利用MonteCarlo模擬驗證中央極限定理-高點研究所經濟學名詞釋讀館高點面授安心學習計畫最新開課好成績經驗分享考古題各校簡章甄試資料庫高點研究所系所介紹商管財金會計財稅法律政公大陸考研化材土木資工資管生科化學社教心輔最新考情各校簡章歷屆考古題研究所報名人數投考組合分析交叉查榜甄試準備書審資料撰寫口試技巧指導在職專班/EMBA研究所英文學員佳績歷年金榜經驗分享課表公告面授課程VOD網院課程雲端課程名師專區名師試聽館劉邦經濟教室經濟學名詞釋讀館阿哲老師的統計學實證講堂首頁商研所許誠哲R語言應用:利用MonteCarlo模擬驗證中央極限定理篇名R語言應用:利用MonteCarlo模擬驗證中央極限定理作者許誠哲說明中央極限定理(centrallimittheorem)的最廣泛的應用為給定一組隨機樣本其中意即隨機變數的期望值與變異數需存在。
給定n足夠大時(sufcientlylarge),意即只要樣本數夠大,樣本平均的抽樣分配將”看起來”像常態分配。
但不是任意分配與任意樣本數均適用中央極限定理。
舉例來說,若資料母體為均勻,則因為均勻分配是對稱分配,因此不需太多樣本數,就能使得樣本平均近似於常態分配。
若資料母體為指數分配,則因為指數分配是右偏分配,則需要更多樣本數,才能使得樣本平均近似於常態分配。
若資料母體為標準柯西分配,則因為其分配的期望值與變異數均不存在,因此無論樣本數有多大,樣本平均都不會近似於常態分配。
而我們可以利用R語言,透過MonteCarlo模擬驗證以上的論述。
為了方便與常態分配作比較,我們將樣本平均標準化,並與標準常態分配的密度進行比較。
R語言的程式碼請參見圖:1模擬結果如圖1所示。
可以發現,均勻分配在小樣本時,樣本平均之分配即與標準常態分配很類似。
而指數分配在小樣本時,樣本平均仍然保持著右偏分配的特性。
標準柯西分配則無論樣本數,其分配型態均與標準常態分配相去甚遠。
這些結果與原本的預期一致。
*作者為臺灣大學經濟學博士,其研究領域為應用時間序列分析(appliedtimeserieseconometrics)。
對於本文有任何指教或者建議,請來信至[email protected],或至Facebook搜尋"許誠哲"。
有三種分配,運行時將第9至11行,根據欲選分配的程式碼對應之行的行首的#字號取消後再運行。
關鍵詞MonteCarlo、中央極限定理刊名商研所許誠哲該期刊-下一篇利用時間趨勢模型預測每日新增確診數財金所-統計學(許誠哲)企管所-統計學(許誠哲)統計所／應數所-統計學(許誠哲)
但不是任意分配與任意樣本數均適用中央極限定理。
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給定n足夠大時(sufcientlylarge),意即只要樣本數夠大,樣本平均的抽樣分配將”看起來”像常態分配。
但不是任意分配與任意樣本數均適用中央極限定理。
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若資料母體為指數分配,則因為指數分配是右偏分配,則需要更多樣本數,才能使得樣本平均近似於常態分配。
若資料母體為標準柯西分配,則因為其分配的期望值與變異數均不存在,因此無論樣本數有多大,樣本平均都不會近似於常態分配。
而我們可以利用R語言,透過MonteCarlo模擬驗證以上的論述。
為了方便與常態分配作比較,我們將樣本平均標準化,並與標準常態分配的密度進行比較。
R語言的程式碼請參見圖:1模擬結果如圖1所示。
可以發現,均勻分配在小樣本時,樣本平均之分配即與標準常態分配很類似。
而指數分配在小樣本時,樣本平均仍然保持著右偏分配的特性。
標準柯西分配則無論樣本數,其分配型態均與標準常態分配相去甚遠。
這些結果與原本的預期一致。
*作者為臺灣大學經濟學博士,其研究領域為應用時間序列分析(appliedtimeserieseconometrics)。
對於本文有任何指教或者建議,請來信至[email protected],或至Facebook搜尋"許誠哲"。
有三種分配,運行時將第9至11行,根據欲選分配的程式碼對應之行的行首的#字號取消後再運行。
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2. 以中央極限定理選才？
而且不同委員的立場迥異，更不會「有共同分佈」，因此不論大數法則或中央極限定理，在此皆不適用。
舉一例子來看：2014年11月落幕的第51屆 ...購買本期瀏覽全文前往科學人知識庫不可勝數以中央極限定理選才？2015-02-01黃文璋-統計、機率無所不在，但可別用錯了地方！ 九合一選舉終於結束了。
在投票前，有位候選人拋出以遴選委員會來挑選首長的主張。
報載「他解釋，在統計學上，N＞25，就會接近大數法則，也就是中央極限理論，不太容易出現偏頗的情況。
雖然他準備設置的遴選委員會成員不到25人，但以過去經驗來看，『只要15個人就會蠻準確的』。
」又是大數法則、又是中央極限理論，還說蠻準確……，一副極有根據的樣子，只是究竟在說些什麼？著名的大數法則及中央極限定理，起源都可追溯到17世紀末至18世紀初，原本是針對二項分佈。
什麼是二項分佈？重複觀測一有兩個結果的試驗，其中一個結果不妨稱為成功，另一個結果稱為失敗，成功的機率假設為p，又假設各次觀測為獨立事件，則n次後所得成功數SnM便有參數n、p的二項分佈，此分佈常以B(n,p)表示。
就算原本試驗的所有可能結果超過兩個，若把有興趣的結果稱為成功，其餘全稱為失敗，即可轉換成一有兩個結果的試驗，因此二項分佈可說無所不在。
當Sn有B(n,p)分佈，由排列組合可求出Sn=k的機率P(Sn=k)=C(n,k)pk(1-p)n-k，其中C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)，而n!=n(n-1)…1，0!=1。
數學家已經證明：只要n夠大，則Sn/n與p任意接近的機率，會很接近1。
這就是早期版本的大數法則，可用來解釋機率的涵義。
例如，某銅板出現正面機率為p，是什麼意思？持續反覆投擲，當投擲次數n很大後，平均所得的正面數Sn/n，與p便可能很接近，或者說Sn/n大致在p的附近。
有時人們會籠統說，n很大時，Sn/n與p很接近。
這樣講其實並不對，因為這是隨機現象，不能保證必然會很接近。
至於以為n很大時，Sn/n就等於p，當然更是錯的。
另外，中央極限定理能更進一步表示出，Sn經標準化後，極限分佈為標準常態。
更明確地說，對每一常數a＞0，當n很大時，機率P(|(Sn-np)/[np(1-p)]1/2|≦a)能用一標準常態分佈的機率值來近似。
此定理可表示出當n很大時，Sn/n落在一個以p為中心之區間的近似機率。
其後，上述兩結果一再被推廣，在一些簡單的條件下，針對一數列獨立且有共同分佈的隨機變數，大數法則及中央極限定理便皆能成立。
但首先，讀者應該可看出「大數法則，也就是中央極限理論」這講法並不正確，兩者內容其實不一樣。
其次，此法則及定理的用途，與「不太容易出現偏頗」毫不相干。
在實務上，n到底要多大？對於中央極限定理，有些教科書會說n＞30便大致適用。
但所謂適用，要看你能容忍的誤差有多大？一般做民調時確實會用到中央極限定理，但因希望誤差不超過3%，一開始設定的成功樣本數為1068，而不是30而已。
即使約1000個隨機產生的樣本，做出的調查都還常遭批評有偏頗、未能反映真相。
至於為特定目的而成立的遴選委員會，委員當然不可能隨機產生，因此從委員會成立之始便難以避免主觀了。
而且不同委員的立場迥異，更不會「有共同分佈」，因此不論大數法則或中央極限定理，在此皆不適用。
舉一例子來看：2014年11月落幕的第51屆金馬獎，得獎名單由總共17位委員共同討論決定，但未獲最佳女主角獎的知名演員鞏俐，事後透過經紀人表示：「金馬獎不專業、不公正，不會再參加。
」由此可看出，遴選這類評比有相當程度的主觀因素，容易產生爭議，並無所謂「只要15個人就會蠻準確的」這種推論。
大數法則及中央極限定理是機率中兩個極重要的結果，用途廣泛，但也沒那麼無所不包到連選才都用得上。
若因此所選非人，可不能怪罪中央極限定理！【欲閱讀全文或更豐富內容，請參閱〈科學人知識庫〉2015年第156期02月號】 購買本期#關鍵字：名家專欄、不可勝數更多文章我的Lab生活走出校園，學到更多2015/05/28陳冠宇很多人在剛踏入實驗室時總是懵懵懂懂，我也不例外。
當初進入清華大學化學工程研究所之前，我沒有任何專題研究的經驗，而且在沒有生物背景的基礎下，我毅然決定選擇病毒載體的實驗室做為棲身之所，曾經有學長問我為什...真
舉一例子來看：2014年11月落幕的第51屆 ...購買本期瀏覽全文前往科學人知識庫不可勝數以中央極限定理選才？2015-02-01黃文璋-統計、機率無所不在，但可別用錯了地方！ 九合一選舉終於結束了。
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報載「他解釋，在統計學上，N＞25，就會接近大數法則，也就是中央極限理論，不太容易出現偏頗的情況。
雖然他準備設置的遴選委員會成員不到25人，但以過去經驗來看，『只要15個人就會蠻準確的』。
」又是大數法則、又是中央極限理論，還說蠻準確……，一副極有根據的樣子，只是究竟在說些什麼？著名的大數法則及中央極限定理，起源都可追溯到17世紀末至18世紀初，原本是針對二項分佈。
什麼是二項分佈？重複觀測一有兩個結果的試驗，其中一個結果不妨稱為成功，另一個結果稱為失敗，成功的機率假設為p，又假設各次觀測為獨立事件，則n次後所得成功數SnM便有參數n、p的二項分佈，此分佈常以B(n,p)表示。
就算原本試驗的所有可能結果超過兩個，若把有興趣的結果稱為成功，其餘全稱為失敗，即可轉換成一有兩個結果的試驗，因此二項分佈可說無所不在。
當Sn有B(n,p)分佈，由排列組合可求出Sn=k的機率P(Sn=k)=C(n,k)pk(1-p)n-k，其中C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)，而n!=n(n-1)…1，0!=1。
數學家已經證明：只要n夠大，則Sn/n與p任意接近的機率，會很接近1。
這就是早期版本的大數法則，可用來解釋機率的涵義。
例如，某銅板出現正面機率為p，是什麼意思？持續反覆投擲，當投擲次數n很大後，平均所得的正面數Sn/n，與p便可能很接近，或者說Sn/n大致在p的附近。
有時人們會籠統說，n很大時，Sn/n與p很接近。
這樣講其實並不對，因為這是隨機現象，不能保證必然會很接近。
至於以為n很大時，Sn/n就等於p，當然更是錯的。
另外，中央極限定理能更進一步表示出，Sn經標準化後，極限分佈為標準常態。
更明確地說，對每一常數a＞0，當n很大時，機率P(|(Sn-np)/[np(1-p)]1/2|≦a)能用一標準常態分佈的機率值來近似。
此定理可表示出當n很大時，Sn/n落在一個以p為中心之區間的近似機率。
其後，上述兩結果一再被推廣，在一些簡單的條件下，針對一數列獨立且有共同分佈的隨機變數，大數法則及中央極限定理便皆能成立。
但首先，讀者應該可看出「大數法則，也就是中央極限理論」這講法並不正確，兩者內容其實不一樣。
其次，此法則及定理的用途，與「不太容易出現偏頗」毫不相干。
在實務上，n到底要多大？對於中央極限定理，有些教科書會說n＞30便大致適用。
但所謂適用，要看你能容忍的誤差有多大？一般做民調時確實會用到中央極限定理，但因希望誤差不超過3%，一開始設定的成功樣本數為1068，而不是30而已。
即使約1000個隨機產生的樣本，做出的調查都還常遭批評有偏頗、未能反映真相。
至於為特定目的而成立的遴選委員會，委員當然不可能隨機產生，因此從委員會成立之始便難以避免主觀了。
而且不同委員的立場迥異，更不會「有共同分佈」，因此不論大數法則或中央極限定理，在此皆不適用。
舉一例子來看：2014年11月落幕的第51屆金馬獎，得獎名單由總共17位委員共同討論決定，但未獲最佳女主角獎的知名演員鞏俐，事後透過經紀人表示：「金馬獎不專業、不公正，不會再參加。
」由此可看出，遴選這類評比有相當程度的主觀因素，容易產生爭議，並無所謂「只要15個人就會蠻準確的」這種推論。
大數法則及中央極限定理是機率中兩個極重要的結果，用途廣泛，但也沒那麼無所不包到連選才都用得上。
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當初進入清華大學化學工程研究所之前，我沒有任何專題研究的經驗，而且在沒有生物背景的基礎下，我毅然決定選擇病毒載體的實驗室做為棲身之所，曾經有學長問我為什...真
3. 中央極限定理
源由; 中央極限定理(Central Limit Theorem) 是機率理論及統計學中最重要且常用的結果之一。
對許多初學者而言，卻是一個不容易瞭解的抽象概念。
為了讓初學者 ...中央極限定理（CentralLimitTheorem） 1.源由 2.方法 3.特性及應用 4.範例 5.操作源由中央極限定理(CentralLimitTheorem)是機率理論及統計學中最重要且常用的結果之一。
對許多初學者而言，卻是一個不容易瞭解的抽象概念。
為了讓初學者比較容易瞭解及掌握中央極限定理的基本概念，這裡將藉由網路互動式模擬程式，來讓初學者從互動的實驗中理解中央極限定理的基本概念。
方法中央極限定理(CasellaandBerger,1990,p.216)有時也稱為常態收斂定理，主要是指從平均數為 ，標準差為 的母體中，隨機地抽取大小為 的獨立樣本 。
當樣本數 很大時，其樣本平均 減掉平均數 再除以標準差 ，將會趨近平均數為0，標準差為1的常態分佈(normaldistribution)。
或者是說當樣本數 很大時，樣本和 減掉平均數 再除以標準差 ，將會趨近平均數為0，標準差為1的常態分佈，即，或 ，所以 的圖形看起來將會很像常態分佈的鐘形。
在此Applet中，將以擲 顆 面骰子的點數和 來模擬中央極限定理的趨近。
在一般的情況下， 可以看做離散的均勻分佈，其機率密度為 ，期望值為 ，變異數為 ，所以 的期望值為 ，變異數為，因此當 夠大時，，即 將會趨近 。
特性及應用在這Applet中，藉由模擬擲骰子所得到的點數和 會趨近常態分佈，來闡述中央極限定理的基本概念。
對一般的母體而言，當樣本數 夠大時，會趨近 。
因此對 畫直方圖所得到的結果會隨著 的加大而越趨近此常態分佈的鐘形。
在此Applet中將會把 所會趨近的常態分佈的分佈線給畫出來，用來跟所畫出來的常態直方圖作比較。
由過去的實驗及文獻可以知道，只要投擲的骰子數大於等於30個，所得的圖形將與常態分佈非常的相近。
而這個程式所做的模擬也的確與這個結論相吻合。
範例由程式執行的結果可以看出，當實驗所投擲的六面骰子個數 為1時，如(圖九)其實驗次數為10000次，根據點數和 所畫出來的直方圖看起來不像鐘形，而是像均勻分佈的圖形，這是因為 本來就是離散的均勻分佈。
當一次實驗所投擲的骰子數 為2時，如(圖十)其實驗次數為10000次，所得到的直方圖有一點像鐘形。
當 為30時，如(圖十一）及(圖十二)其實驗次數各為10000及100000次，由所得到的圖形可以發現，直方圖越來越像鐘形且與常態分佈機率密度函數圖越來越吻合。
(圖九)中央極限(圖十)中央極限 (圖十一)中央極限(圖十二)中央極限操作使用者在使用這個程式時，必需先輸入一次實驗所欲投擲的骰子面數 (預設為6面)、每面發生的機率比(預設為公平骰子1:1:1:1:1:1)、投擲的骰子個數 (預設30個)，以及實驗次數 (預設10000次)。
在輸入完成後按確定，將可以看到紅色的 直方圖及黑色的 常態分佈機率密度函數曲線圖，然後藉由直方圖與曲線圖的比較可以知道模擬出來的結果與常態分佈的吻合程度。
對許多初學者而言，卻是一個不容易瞭解的抽象概念。
為了讓初學者 ...中央極限定理（CentralLimitTheorem） 1.源由 2.方法 3.特性及應用 4.範例 5.操作源由中央極限定理(CentralLimitTheorem)是機率理論及統計學中最重要且常用的結果之一。
對許多初學者而言，卻是一個不容易瞭解的抽象概念。
為了讓初學者比較容易瞭解及掌握中央極限定理的基本概念，這裡將藉由網路互動式模擬程式，來讓初學者從互動的實驗中理解中央極限定理的基本概念。
方法中央極限定理(CasellaandBerger,1990,p.216)有時也稱為常態收斂定理，主要是指從平均數為 ，標準差為 的母體中，隨機地抽取大小為 的獨立樣本 。
當樣本數 很大時，其樣本平均 減掉平均數 再除以標準差 ，將會趨近平均數為0，標準差為1的常態分佈(normaldistribution)。
或者是說當樣本數 很大時，樣本和 減掉平均數 再除以標準差 ，將會趨近平均數為0，標準差為1的常態分佈，即，或 ，所以 的圖形看起來將會很像常態分佈的鐘形。
在此Applet中，將以擲 顆 面骰子的點數和 來模擬中央極限定理的趨近。
在一般的情況下， 可以看做離散的均勻分佈，其機率密度為 ，期望值為 ，變異數為 ，所以 的期望值為 ，變異數為，因此當 夠大時，，即 將會趨近 。
特性及應用在這Applet中，藉由模擬擲骰子所得到的點數和 會趨近常態分佈，來闡述中央極限定理的基本概念。
對一般的母體而言，當樣本數 夠大時，會趨近 。
因此對 畫直方圖所得到的結果會隨著 的加大而越趨近此常態分佈的鐘形。
在此Applet中將會把 所會趨近的常態分佈的分佈線給畫出來，用來跟所畫出來的常態直方圖作比較。
由過去的實驗及文獻可以知道，只要投擲的骰子數大於等於30個，所得的圖形將與常態分佈非常的相近。
而這個程式所做的模擬也的確與這個結論相吻合。
範例由程式執行的結果可以看出，當實驗所投擲的六面骰子個數 為1時，如(圖九)其實驗次數為10000次，根據點數和 所畫出來的直方圖看起來不像鐘形，而是像均勻分佈的圖形，這是因為 本來就是離散的均勻分佈。
當一次實驗所投擲的骰子數 為2時，如(圖十)其實驗次數為10000次，所得到的直方圖有一點像鐘形。
當 為30時，如(圖十一）及(圖十二)其實驗次數各為10000及100000次，由所得到的圖形可以發現，直方圖越來越像鐘形且與常態分佈機率密度函數圖越來越吻合。
(圖九)中央極限(圖十)中央極限 (圖十一)中央極限(圖十二)中央極限操作使用者在使用這個程式時，必需先輸入一次實驗所欲投擲的骰子面數 (預設為6面)、每面發生的機率比(預設為公平骰子1:1:1:1:1:1)、投擲的骰子個數 (預設30個)，以及實驗次數 (預設10000次)。
在輸入完成後按確定，將可以看到紅色的 直方圖及黑色的 常態分佈機率密度函數曲線圖，然後藉由直方圖與曲線圖的比較可以知道模擬出來的結果與常態分佈的吻合程度。
4. 中央極限定理(Central Limit Theorem , CLT)
中央極限定理是指，從任何母體隨機抽取大量獨立的隨機變數，其平均值會趨近於常態分佈。
提到常態分佈，讀者興許就明白為何該定理如此重要了。
無論原始母體 ...Signin啟發式演算法網路爬蟲推薦系統統計分析文字探勘網路分析中央極限定理(CentralLimitTheorem,CLT)邱秉誠FollowFeb27·4minread中央極限定理是指，從任何母體隨機抽取大量獨立的隨機變數，其平均值會趨近於常態分佈。
提到常態分佈，讀者興許就明白為何該定理如此重要了。
無論原始母體為何，當樣本數夠大，樣本平均數就會趨於常態分佈，便可以運用統計手法來驗證宣稱的樣本平均值是否合理，進一步幫助我們完成假設檢定的一系列流程。
請參考假設檢定基礎觀念。
公式假設母體的平均值為μ，變異數為σ²，從母體抽取隨機變數x1,x2,x3..xn，這n個隨機變數的平均值(以X_bar表示)會服從常態分配。
一般而言，在針對常態分佈的假設檢定，我們都會將原始分數標準化，作法為將x減去母體平均μ，再將兩者的差除以母體標準差σ。
以標準差做為單位來衡量原始分數與母體的真實距離，又稱為z-score。
這裡要注意的是，上述的z-score是原始的隨機亂數，但是如今是樣本的平均值X_bar服從常態分佈，因此我們分別推導X_bar的期望值與變異數。
X_bar的期望值估計式的期望值等於母體參數，因此是不偏估計(unbiasedestimator)。
X_bar的變異數經過上述推導，明白X_bar會服從母體平均值為μ、母體標準差為σ/√n的常態分佈。
因此z-score重新表示如下：模擬用隨機亂數的樣本平均值檢測分布的情形。
我們先隨意產生μ為10、σ為5的高斯隨機變數作為母體，每次抽取10個樣本並計算平均值作為一個觀察值，如此抽取1000次，繪製成下方左上角的第一張圖，接著讓我們來試試看使用不同樣本大小，用以下程式依序使用[10,50,100,200]作為抽取的樣本大小並計算樣本平均值，如此各自抽取1000次，最後使用seanborn的displot繪製圖形。
可以發現隨著樣本大小的增加，樣本平均越趨近於常態分布，並且變異數會越小，這是源於上述推導樣本平均數的標準差為σ/√n。
在不同樣本大小，其樣本平均值的機率分佈舉例用中央極限定理的觀念來進行假設檢定。
假設乘客等候公車時間平均為8.5分鐘，標準差為3.5分鐘。
假設今天隨機抽取49位乘客，平均候車的時間少於10鐘內的機率為何？從題意上我們不知道真實乘客等候公車的時間是來自於何者分佈，但是由於今天抽取的樣本數目夠大(一般而言，樣本數量需要>=30)，因此我們知道樣本的平均值會趨近常態分佈，將樣本平均值標準化，求得z-score如下：z-score為3，意味10分鐘是樣本平均距離母體有三倍標準差，透過查表就可以得知Z-score小於3倍標準差的面積為0.9987，表示平均候車的時間少於10鐘內的機率為0.9987。
小結中央極限定理是指，從任何母體隨機抽取大量獨立的隨機變數，其平均值會趨近於常態分佈，當樣本數目夠大，越趨近於常態分佈，且變異數會越小。
邱秉誠資料科學札記從事數據分析的心得札記FollowCentralLimitTheoremStatisticsNormalDistributionPopulationHypothesisTesting351 claps351Writtenby邱秉誠Follow台科工業管理學士。
台大工業工程碩士。
學習數據分析及網站開發。
Follow邱秉誠資料科學札記Follow從事數據分析的心得札記FollowWrittenby邱秉誠Follow台科工業管理學士。
台大工業工程碩士。
學習數據分析及網站開發。
邱秉誠資料科學札記Follow從事數據分析的心得札記MoreFromMedium如何計算型一錯誤(TypeIError)、型二錯誤(TypeIIError)的機率。
邱秉誠in邱秉誠資料科學札記簡單線性回歸的顯著性檢定(Significancetest)邱秉誠in邱秉誠資料科學札記以VBA自動繪製統計製程管制圖(SPCControlChart)邱秉誠in邱秉誠資料科學札記回歸分析(Regressionanalysis)的R平方(Rsquared)與調整後R平方(AdjustedRsquared)邱秉誠in邱秉誠資料科學
提到常態分佈，讀者興許就明白為何該定理如此重要了。
無論原始母體 ...Signin啟發式演算法網路爬蟲推薦系統統計分析文字探勘網路分析中央極限定理(CentralLimitTheorem,CLT)邱秉誠FollowFeb27·4minread中央極限定理是指，從任何母體隨機抽取大量獨立的隨機變數，其平均值會趨近於常態分佈。
提到常態分佈，讀者興許就明白為何該定理如此重要了。
無論原始母體為何，當樣本數夠大，樣本平均數就會趨於常態分佈，便可以運用統計手法來驗證宣稱的樣本平均值是否合理，進一步幫助我們完成假設檢定的一系列流程。
請參考假設檢定基礎觀念。
公式假設母體的平均值為μ，變異數為σ²，從母體抽取隨機變數x1,x2,x3..xn，這n個隨機變數的平均值(以X_bar表示)會服從常態分配。
一般而言，在針對常態分佈的假設檢定，我們都會將原始分數標準化，作法為將x減去母體平均μ，再將兩者的差除以母體標準差σ。
以標準差做為單位來衡量原始分數與母體的真實距離，又稱為z-score。
這裡要注意的是，上述的z-score是原始的隨機亂數，但是如今是樣本的平均值X_bar服從常態分佈，因此我們分別推導X_bar的期望值與變異數。
X_bar的期望值估計式的期望值等於母體參數，因此是不偏估計(unbiasedestimator)。
X_bar的變異數經過上述推導，明白X_bar會服從母體平均值為μ、母體標準差為σ/√n的常態分佈。
因此z-score重新表示如下：模擬用隨機亂數的樣本平均值檢測分布的情形。
我們先隨意產生μ為10、σ為5的高斯隨機變數作為母體，每次抽取10個樣本並計算平均值作為一個觀察值，如此抽取1000次，繪製成下方左上角的第一張圖，接著讓我們來試試看使用不同樣本大小，用以下程式依序使用[10,50,100,200]作為抽取的樣本大小並計算樣本平均值，如此各自抽取1000次，最後使用seanborn的displot繪製圖形。
可以發現隨著樣本大小的增加，樣本平均越趨近於常態分布，並且變異數會越小，這是源於上述推導樣本平均數的標準差為σ/√n。
在不同樣本大小，其樣本平均值的機率分佈舉例用中央極限定理的觀念來進行假設檢定。
假設乘客等候公車時間平均為8.5分鐘，標準差為3.5分鐘。
假設今天隨機抽取49位乘客，平均候車的時間少於10鐘內的機率為何？從題意上我們不知道真實乘客等候公車的時間是來自於何者分佈，但是由於今天抽取的樣本數目夠大(一般而言，樣本數量需要>=30)，因此我們知道樣本的平均值會趨近常態分佈，將樣本平均值標準化，求得z-score如下：z-score為3，意味10分鐘是樣本平均距離母體有三倍標準差，透過查表就可以得知Z-score小於3倍標準差的面積為0.9987，表示平均候車的時間少於10鐘內的機率為0.9987。
小結中央極限定理是指，從任何母體隨機抽取大量獨立的隨機變數，其平均值會趨近於常態分佈，當樣本數目夠大，越趨近於常態分佈，且變異數會越小。
邱秉誠資料科學札記從事數據分析的心得札記FollowCentralLimitTheoremStatisticsNormalDistributionPopulationHypothesisTesting351 claps351Writtenby邱秉誠Follow台科工業管理學士。
台大工業工程碩士。
學習數據分析及網站開發。
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邱秉誠資料科學札記Follow從事數據分析的心得札記MoreFromMedium如何計算型一錯誤(TypeIError)、型二錯誤(TypeIIError)的機率。
邱秉誠in邱秉誠資料科學札記簡單線性回歸的顯著性檢定(Significancetest)邱秉誠in邱秉誠資料科學札記以VBA自動繪製統計製程管制圖(SPCControlChart)邱秉誠in邱秉誠資料科學札記回歸分析(Regressionanalysis)的R平方(Rsquared)與調整後R平方(AdjustedRsquared)邱秉誠in邱秉誠資料科學
5. 中央極限定理
比例檢定是針對取樣自二項分布的樣本，假設於大樣本情況下，依據中央極限定理， ... 舉例說明機率法則的實際應用，強調「推理統計學」是以「機率論」為基礎。
Thursday24thJune202124-Jun-2021人工智慧化學物理數學生命科學生命科學文章植物圖鑑地球科學環境能源科學繪圖高瞻專區第一期高瞻計畫第二期高瞻計畫第三期高瞻計畫綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫關於我們網站主選單比例檢定(TestofProportions)國立臺灣大學農藝學系吳博雅一、前言常常市面上一些電子產品宣稱其不良率低於一個目標值（例如：5%），或是一個好的棒球打擊者其打擊率高達七成以上，或是要判定新藥的使用可以使疾病的死亡率降低至九成以下等相關問題，其實都屬於單組樣本比例檢定的問題。
若是要探討舊藥與新藥對疾病治癒率的差異性，或是探討兩射箭選手命中紅心射擊率的差異性等相關問題，屬於兩組樣本比例檢定的問題。
比例檢定是針對取樣自二項分布的樣本，假設於大樣本情況下，依據中央極限定理，樣本比例會近似於常態分布，並且分成「單一組樣本比例檢定」與「兩組樣本比例檢定」這兩部分做更進一步的介紹。
繼續閱讀→初等的機率論（10）推理統計學簡介（ElementaryProbability Theory-10.BriefIntroduction toStatisticalInference）國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯連結：初等的機率論（9）什麼是機率與機率法則？摘要：這是一系列「初等的機率論」文章中的最後一篇，在對機率有了充足的概念後，這裡舉例說明機率法則的實際應用，強調「推理統計學」是以「機率論」為基礎。
機率論最早的應用是賭局，而賭局也是機率論的發源地。
隨著機率論的發展，它的應用也越來越寬廣，最先是數理統計學，再來是統計力學、量子力學，以及社會科學、醫學、經濟學。
只要是涉及重複的、大量的觀測數據，都會受到機率論與統計學的管轄。
繼續閱讀→初等的機率論（9）什麼是機率與機率法則？（ElementaryProbability Theory-9.WhatareProbabilityandLawofchance？）國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯連結：初等的機率論（8）隨機變數及其種種性質摘要：本文以丟銅板問題，逐步探討機率論中幾個重要的法則：「大數法則（law oflargenumbers）」、「Poisson小數法則（Poisson’slawofsmallnumbers）」、及「中央極限定理（centrallimittheorem）」。
機率論的兩個核心問題就是要問：什麼是一個事件的機率（probability）？什麼是機率法則（thelawsofchance）？（甚至是，有沒有機率法則？）要探索這些問題，我們要遵循德國偉大數學家D.Hilbert(1862-1943)所說的一句名言：這是機率論的美妙與幸運，也許是機運女神泰姬（Tyche）特別眷顧機率論吧。
繼續閱讀→站方公告讀者您好，如對文章有任何提問，敬請於文章下方留言，我們會聯繫作者或責任編輯回覆您！謝謝您的耐心。
老漁翁沈世傑–臺灣魚類研究的國寶漫畫說科學【漫畫說科學】冷凍湯圓科學Online粉絲專頁高瞻計畫課程推薦瀏覽人次InsertmathasBlockInlineAdditionalsettingsFormulacolorTextcolor#333333FormulaIDFormulaclassesTypemathusingLaTeXPreview\({}\)NothingtopreviewInsert
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若是要探討舊藥與新藥對疾病治癒率的差異性，或是探討兩射箭選手命中紅心射擊率的差異性等相關問題，屬於兩組樣本比例檢定的問題。
比例檢定是針對取樣自二項分布的樣本，假設於大樣本情況下，依據中央極限定理，樣本比例會近似於常態分布，並且分成「單一組樣本比例檢定」與「兩組樣本比例檢定」這兩部分做更進一步的介紹。
繼續閱讀→初等的機率論（10）推理統計學簡介（ElementaryProbability Theory-10.BriefIntroduction toStatisticalInference）國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯連結：初等的機率論（9）什麼是機率與機率法則？摘要：這是一系列「初等的機率論」文章中的最後一篇，在對機率有了充足的概念後，這裡舉例說明機率法則的實際應用，強調「推理統計學」是以「機率論」為基礎。
機率論最早的應用是賭局，而賭局也是機率論的發源地。
隨著機率論的發展，它的應用也越來越寬廣，最先是數理統計學，再來是統計力學、量子力學，以及社會科學、醫學、經濟學。
只要是涉及重複的、大量的觀測數據，都會受到機率論與統計學的管轄。
繼續閱讀→初等的機率論（9）什麼是機率與機率法則？（ElementaryProbability Theory-9.WhatareProbabilityandLawofchance？）國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯連結：初等的機率論（8）隨機變數及其種種性質摘要：本文以丟銅板問題，逐步探討機率論中幾個重要的法則：「大數法則（law oflargenumbers）」、「Poisson小數法則（Poisson’slawofsmallnumbers）」、及「中央極限定理（centrallimittheorem）」。
機率論的兩個核心問題就是要問：什麼是一個事件的機率（probability）？什麼是機率法則（thelawsofchance）？（甚至是，有沒有機率法則？）要探索這些問題，我們要遵循德國偉大數學家D.Hilbert(1862-1943)所說的一句名言：這是機率論的美妙與幸運，也許是機運女神泰姬（Tyche）特別眷顧機率論吧。
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6. 中央極限定理
中央極限定理(Central limit theorem, 簡作CLT) 是機率論中的一組定理。
中央極限定理說明，在適當的條件下，大量相互獨立隨機變數的均值經適當標準化後依分布 ...中央極限定理維基百科，自由的百科全書跳至導覽跳至搜尋本圖描繪了多次拋擲硬幣實驗中出現正面的平均比率，每次實驗均拋擲了大量硬幣。
中央極限定理(Centrallimittheorem,簡作CLT)是機率論中的一組定理。
中央極限定理說明，在適當的條件下，大量相互獨立隨機變數的均值經適當標準化後依分布收斂於常態分布。
這組定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變數之和近似服從常態分布的條件。
目錄1歷史2棣莫佛－拉普拉斯定理2.1內容2.2在高爾頓板問題上的應用3林德伯格－列維定理3.1內容3.2證明4林德伯格-費勒定理4.1內容4.2證明5參閱6參考文獻7外部連結歷史[編輯]Tijms(2004,p.169)寫到：“中央極限定理有著有趣的歷史。
這個定理的第一版被法國數學家棣美弗發現，他在1733年發表的卓越論文中使用常態分布去估計大量拋擲硬幣出現正面次數的分布。
這個超越時代的成果險些被歷史遺忘，所幸著名法國數學家拉普拉斯在1812年發表的巨著ThéorieAnalytiquedesProbabilités中拯救了這個默默無名的理論。
拉普拉斯擴展了棣美弗的理論，指出二項分布可用常態分布逼近。
但同棣美弗一樣，拉普拉斯的發現在當時並未引起很大反響。
直到十九世紀末中央極限定理的重要性才被世人所知。
1901年，俄國數學家里雅普諾夫用更普通的隨機變數定義中央極限定理並在數學上進行了精確的證明。
如今，中央極限定理被認為是(非正式地)機率論中的首席定理。
”棣莫佛－拉普拉斯定理[編輯]用常態分布逼近二項分布棣莫佛－拉普拉斯（deMoivre-Laplace）定理是中央極限定理的最初版本，討論了服從二項分布的隨機變數序列。
它指出，參數為n,p的二項分布以np為均值、np(1-p)為變異數的常態分布為極限。
內容[編輯]若X∼B(n,p){\displaystyleX\simB(n,p)}是n{\displaystylen}次伯努利實驗中事件A出現的次數，每次試驗成功的機率為p{\displaystylep}，且q=1−p{\displaystyleq=1-p}，則對任意有限區間[a,b]{\displaystyle[a,b]}：令xk≡k−npnpq{\displaystylex_{k}\equiv{\frac{k-np}{\sqrt{npq}}}}，當n→∞{\displaystylen\to{\infty}}時(i)P(X=k)→1npq⋅12πe−12xμn2{\displaystyleP(X=k)\to{\frac{1}{\sqrt{npq}}}\cdot{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}e^{-{\frac{1}{2}}x_{\mu_{n}}^{2}}}(ii)P(a≤X−npnpq≤b)→∫abφ(x)dx{\displaystyleP(a\leq{\frac{X-np}{\sqrt{npq}}}\leq{b})\to\int_{a}^{b}\varphi(x)dx}，其中φ(x)=12πe−x22(−∞
棣美弗－拉普拉斯定理指出二項分布的極限為常態分布。
高爾頓板可以看作是伯努利試驗的實驗模型。
如果我們把小球碰到釘子看作一次實驗，而把從右邊落下算是成功，從左邊落下看作失敗，就有了一次p=12{\displaystylep={\frac{1}{2}}}的伯努利試驗。
小球從頂端到底層共需要經過n排釘子，這就相當於一個n次伯努利試驗。
小球的高度曲線也就可以看作二項分布隨機變數的機率密度函數。
因此，中央極限定理解釋了高爾頓板小球累積高度曲線為什麼是常態分布獨有的鐘形曲線。
林德伯格－列維定理[編輯]中央極限定理的動態展示，獨立同分布隨機變數之和趨近常態分布。
林德伯格－列維（Lindeberg-Levy）定理，是棣莫佛－拉普
中央極限定理說明，在適當的條件下，大量相互獨立隨機變數的均值經適當標準化後依分布 ...中央極限定理維基百科，自由的百科全書跳至導覽跳至搜尋本圖描繪了多次拋擲硬幣實驗中出現正面的平均比率，每次實驗均拋擲了大量硬幣。
中央極限定理(Centrallimittheorem,簡作CLT)是機率論中的一組定理。
中央極限定理說明，在適當的條件下，大量相互獨立隨機變數的均值經適當標準化後依分布收斂於常態分布。
這組定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變數之和近似服從常態分布的條件。
目錄1歷史2棣莫佛－拉普拉斯定理2.1內容2.2在高爾頓板問題上的應用3林德伯格－列維定理3.1內容3.2證明4林德伯格-費勒定理4.1內容4.2證明5參閱6參考文獻7外部連結歷史[編輯]Tijms(2004,p.169)寫到：“中央極限定理有著有趣的歷史。
這個定理的第一版被法國數學家棣美弗發現，他在1733年發表的卓越論文中使用常態分布去估計大量拋擲硬幣出現正面次數的分布。
這個超越時代的成果險些被歷史遺忘，所幸著名法國數學家拉普拉斯在1812年發表的巨著ThéorieAnalytiquedesProbabilités中拯救了這個默默無名的理論。
拉普拉斯擴展了棣美弗的理論，指出二項分布可用常態分布逼近。
但同棣美弗一樣，拉普拉斯的發現在當時並未引起很大反響。
直到十九世紀末中央極限定理的重要性才被世人所知。
1901年，俄國數學家里雅普諾夫用更普通的隨機變數定義中央極限定理並在數學上進行了精確的證明。
如今，中央極限定理被認為是(非正式地)機率論中的首席定理。
”棣莫佛－拉普拉斯定理[編輯]用常態分布逼近二項分布棣莫佛－拉普拉斯（deMoivre-Laplace）定理是中央極限定理的最初版本，討論了服從二項分布的隨機變數序列。
它指出，參數為n,p的二項分布以np為均值、np(1-p)為變異數的常態分布為極限。
內容[編輯]若X∼B(n,p){\displaystyleX\simB(n,p)}是n{\displaystylen}次伯努利實驗中事件A出現的次數，每次試驗成功的機率為p{\displaystylep}，且q=1−p{\displaystyleq=1-p}，則對任意有限區間[a,b]{\displaystyle[a,b]}：令xk≡k−npnpq{\displaystylex_{k}\equiv{\frac{k-np}{\sqrt{npq}}}}，當n→∞{\displaystylen\to{\infty}}時(i)P(X=k)→1npq⋅12πe−12xμn2{\displaystyleP(X=k)\to{\frac{1}{\sqrt{npq}}}\cdot{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}e^{-{\frac{1}{2}}x_{\mu_{n}}^{2}}}(ii)P(a≤X−npnpq≤b)→∫abφ(x)dx{\displaystyleP(a\leq{\frac{X-np}{\sqrt{npq}}}\leq{b})\to\int_{a}^{b}\varphi(x)dx}，其中φ(x)=12πe−x22(−∞
棣美弗－拉普拉斯定理指出二項分布的極限為常態分布。
高爾頓板可以看作是伯努利試驗的實驗模型。
如果我們把小球碰到釘子看作一次實驗，而把從右邊落下算是成功，從左邊落下看作失敗，就有了一次p=12{\displaystylep={\frac{1}{2}}}的伯努利試驗。
小球從頂端到底層共需要經過n排釘子，這就相當於一個n次伯努利試驗。
小球的高度曲線也就可以看作二項分布隨機變數的機率密度函數。
因此，中央極限定理解釋了高爾頓板小球累積高度曲線為什麼是常態分布獨有的鐘形曲線。
林德伯格－列維定理[編輯]中央極限定理的動態展示，獨立同分布隨機變數之和趨近常態分布。
林德伯格－列維（Lindeberg-Levy）定理，是棣莫佛－拉普
7. 透過Coronavirus (COVID-19)通俗理解中央極限定理(Central ...
1 .什麼是中央極限定理（Central Limit Theorem） · 白話文: 給定一個任意分配的母體。
每次從這些母體中隨機抽取n 個樣本，一共抽m 次。
然後把這 ...DataScienceLifeEasyMediumMySQLSharkoShen'sLinkedIn透過Coronavirus(COVID-19)通俗理解中央極限定理(CentralLimitTheorem)SharkoShenFollowApr23,2020·3minread這次要用最淺顯易懂的方式講解中央極限定理。
1.什麼是中央極限定理（CentralLimitTheorem）來源:http://homepage.ntu.edu.tw/~clhsieh/biostatistic/5/5-1.htm上圖可以直接跳過，我只是想表示密密麻麻的文字讀起來很複雜似懂非懂。
白話文:給定一個任意分配的母體。
每次從這些母體中隨機抽取n個樣本，一共抽m次。
然後把這m組樣本分別求出平均值。
這些平均值的分配接近常態分佈。
相信還是沒有畫面，我們來舉個時事例子2.通俗白話舉例現在我們要統計全世界感染Coronavirus患者的年齡分布，看看全世界平均感染年齡是多少。
但全世界患者激增，要調查所有患者的年齡是不太實際的。
所以我們打算從全世界各地調查10000組，每組50位病患接著求出第一組病患的平均年齡舉例:74歲第二組的平均年齡舉例:65歲第三組的平均年齡舉例:40歲就這樣一直取到第10000組的平均年齡舉例:第10000組的平均年齡87歲最後，當我們再把10000組算出來的年齡平均值加起來再取平均值也就是(74+65+40+…+87)/10000結論!這個值就會接近全世界患者的平均年齡!!!另外這10000組平均年齡的分布會趨近於常態分佈!!!這就是中央極限定理的神奇魔力!註:取樣本的時候，每組樣本一般大於等於30個，中心極限定理即可發揮作用。
DataScienceforKindergartenThinkDataScienceforBeginnersistoohardforyou?CheckouttheDataScienceforKindergarten!101DataScienceCentralLimitTheoremCoronavirusCovid19101 claps101DataScienceforKindergartenEasyPeasyDataScienceWrittenbySharkoShenFollowThinking“DataScienceforBeginners”toohardforyou?Checkout“DataScienceforKindergarten”!DataScienceforKindergartenEasyPeasyDataScienceMoreFromMediumASingleNumberMetricforEvaluatingObjectDetectionModelsPeterLebiedzinskiinTowardsDataScienceWhichPythonDataStructureShouldYouUse?YasmineHejaziinTowardsDataScienceAndrogyny:RevivingaLostHumanConditionReikanCommonGitHubCommandsEveryDataScientistNeedsToKnowMattPrzybylainTowardsDataScienceCanmachineshelpusgenerateempathy?[Research&Theory]ClemenceDebaig[DemzouArt]MachineLearningInterviewQuestionsTseng1026intseng1026HowToManageUncertaintiesAtWorkFernandWongCentralLimitTheoremmadeeasy!AnkitaBanerjiinAnalyticsVidhyaLearnmore.Mediumisanopenplatformwhere170millionreaderscometofindinsightfulanddynamicthinking.Here,expertandundiscoveredvoicesalikediveintotheheartofanytopicandbringnewideastothesurface.LearnmoreMakeMedium
每次從這些母體中隨機抽取n 個樣本，一共抽m 次。
然後把這 ...DataScienceLifeEasyMediumMySQLSharkoShen'sLinkedIn透過Coronavirus(COVID-19)通俗理解中央極限定理(CentralLimitTheorem)SharkoShenFollowApr23,2020·3minread這次要用最淺顯易懂的方式講解中央極限定理。
1.什麼是中央極限定理（CentralLimitTheorem）來源:http://homepage.ntu.edu.tw/~clhsieh/biostatistic/5/5-1.htm上圖可以直接跳過，我只是想表示密密麻麻的文字讀起來很複雜似懂非懂。
白話文:給定一個任意分配的母體。
每次從這些母體中隨機抽取n個樣本，一共抽m次。
然後把這m組樣本分別求出平均值。
這些平均值的分配接近常態分佈。
相信還是沒有畫面，我們來舉個時事例子2.通俗白話舉例現在我們要統計全世界感染Coronavirus患者的年齡分布，看看全世界平均感染年齡是多少。
但全世界患者激增，要調查所有患者的年齡是不太實際的。
所以我們打算從全世界各地調查10000組，每組50位病患接著求出第一組病患的平均年齡舉例:74歲第二組的平均年齡舉例:65歲第三組的平均年齡舉例:40歲就這樣一直取到第10000組的平均年齡舉例:第10000組的平均年齡87歲最後，當我們再把10000組算出來的年齡平均值加起來再取平均值也就是(74+65+40+…+87)/10000結論!這個值就會接近全世界患者的平均年齡!!!另外這10000組平均年齡的分布會趨近於常態分佈!!!這就是中央極限定理的神奇魔力!註:取樣本的時候，每組樣本一般大於等於30個，中心極限定理即可發揮作用。
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