如何利用數學知識證明「七二法則」？ | 70法則定義
七二法則：拿72除以當前的利率，除出來的那個商，就是隔多少年你的本金 ... 至於我為什麼沒頭沒腦地提到了ln2，請好好想想e的定義是什麼，計算複利的 ...標籤：利率數學級數經濟學如何利用數學知識證明「七二法則」？01-26七二法則：拿72除以當前的利率，除出來的那個商，就是隔多少年你的本金能夠翻倍的大致數目。
比方說，如果年利率是5的話，那麼72除以5那是14.4，大概14年以後，你這份本金在年利率是5%的情況下能夠翻倍；如果利率上升了，是10%了，那麼72除以10，那是7.2，那7年多一點，你的本金就能翻倍，這叫「七二法則」。
用72除以當前的年利率，除出來的商，就是一份本金翻倍所需要的年頭數。
謝邀。
應該跟ln2=0.69...有關係。
不過這裡實際上用的0.72作為ln2的近似值，可能是因為在年利率這個區間用0.72更準確吧。
至於我為什麼沒頭沒腦地提到了ln2，請好好想想e的定義是什麼，計算複利的公式又是什麼，把這個問題用數學公式寫出來馬上就能看到和e有關係了。
這個問題其實還是蠻簡單的。
下文我將展示詳細步驟。
首先，我們要建立方程。
對於這種利率問題，如果我們設本金為G，利率為m，那麼n年之後的我們的本金加利息是多少呢？答案是：那麼我們現在回到「七二法則」。
現在，我們需要將我們的本金翻倍，也就是說我們要讓我們在n年之後得到這麼多錢。
於是我們可以得到如下方程：，此時，我們的G、m都是已知量，而我們要求的是，在多少年之後，我們的本金可以翻倍。
那就是要解n。
解法就是我們對於剛剛得到的方程兩邊取自然對數。
得到。
而這裡，我們需要用到微積分的知識：泰勒展開。
對於目前的銀行們，他們所給出的利率都是很小的，相比較1而言，所以我們可以認為此時的m趨近於0。
對於泰勒展開後，我們就能夠得到（不要問我為什麼，問問題的都是上課沒有認真聽的壞孩子）。
（我們在使用「72」法則的時候，利率用的都是百分利率，比如說利率是2%，我們就拿72除以2.但是對於我們的本金利息和公式而言，公式中的1代表著100%，那麼我們的m也得是和1相同的形式。
如果利率還是2%，我們在公式裡面就會寫作0.02。
而對於我們的m來說，如果利率是1%的話，那麼此處的m就是0.01，是非常接近於0的，所以我們泰勒展開的條件能夠滿足。
）那麼我們的方程就變成了如下的形式：。
而，並且我們的m轉換成成為分數形式的話就是。
那麼最終我們就能夠得到。
這麼看來，我們應該使用」69法則「（各位不要污），但不知道為何從事金融的業內人士會使用「七二法則」，可能是因為對於具體現實數字的話，這點誤差不是很大吧。
在國外的話，貌似用的都是「70法則」，「69法則」近似版本。
複利公式取對數有n=ln2/ln(1+x)，泰勒展開分母是x-x^2/2，把1-x/2提出來放到分子算一下，當x=0.1時是0.7296（手機打的，將就看下）所有人都讓開，Mathematica大法最好：第一種：x是利率，n是年份第二種：72年除以（利率的100倍）解出來n之後，就是這下面這兩個函數。
然後，從1%的利率，到50%的利率。
一圖勝千言：有人在評論里說，對比一下69，如下圖：今天想了解下原理，查了下72法則推導過程，其實我看到的最清晰的過程是果殼上一篇講無理數e的定義的文章，因為本來就是近似值，沒有用到複雜的泰勒展開，非常巧妙的用n=1000時e的近似值來推導的。
原文在這裡http://www.guokr.com/article/50264/?from=singlemessageisappinstalled=0此外，我在想，e的定義就是x趨近於0時(1+x)^(1/x)的值，那麼兩邊同時取自然對數，也可以得到x=ln(1+x)。
這就是為了3%、6%等數字，算出結果整數好用而已，特別是銀行等機構每日萬分之一的年利率是3.6%，萬分之二的利率是7.2%，這時候用72法則來計算，就顯得很裝逼，不經常計算5%，其他玩不轉的時候拿70到75算也行，反正容錯率高。
記住1%是69年翻倍，綠色的是誤差在2%以內，紅色的誤差5%以上72是2,3,4,6,8,9,12這些數字的倍數，同時除以7或10也很容易得出近似結果。
所以用72能夠在誤差不大的
比方說，如果年利率是5的話，那麼72除以5那是14.4，大概14年以後，你這份本金在年利率是5%的情況下能夠翻倍；如果利率上升了，是10%了，那麼72除以10，那是7.2，那7年多一點，你的本金就能翻倍，這叫「七二法則」。
用72除以當前的年利率，除出來的商，就是一份本金翻倍所需要的年頭數。
謝邀。
應該跟ln2=0.69...有關係。
不過這裡實際上用的0.72作為ln2的近似值，可能是因為在年利率這個區間用0.72更準確吧。
至於我為什麼沒頭沒腦地提到了ln2，請好好想想e的定義是什麼，計算複利的公式又是什麼，把這個問題用數學公式寫出來馬上就能看到和e有關係了。
這個問題其實還是蠻簡單的。
下文我將展示詳細步驟。
首先，我們要建立方程。
對於這種利率問題，如果我們設本金為G，利率為m，那麼n年之後的我們的本金加利息是多少呢？答案是：那麼我們現在回到「七二法則」。
現在，我們需要將我們的本金翻倍，也就是說我們要讓我們在n年之後得到這麼多錢。
於是我們可以得到如下方程：，此時，我們的G、m都是已知量，而我們要求的是，在多少年之後，我們的本金可以翻倍。
那就是要解n。
解法就是我們對於剛剛得到的方程兩邊取自然對數。
得到。
而這裡，我們需要用到微積分的知識：泰勒展開。
對於目前的銀行們，他們所給出的利率都是很小的，相比較1而言，所以我們可以認為此時的m趨近於0。
對於泰勒展開後，我們就能夠得到（不要問我為什麼，問問題的都是上課沒有認真聽的壞孩子）。
（我們在使用「72」法則的時候，利率用的都是百分利率，比如說利率是2%，我們就拿72除以2.但是對於我們的本金利息和公式而言，公式中的1代表著100%，那麼我們的m也得是和1相同的形式。
如果利率還是2%，我們在公式裡面就會寫作0.02。
而對於我們的m來說，如果利率是1%的話，那麼此處的m就是0.01，是非常接近於0的，所以我們泰勒展開的條件能夠滿足。
）那麼我們的方程就變成了如下的形式：。
而，並且我們的m轉換成成為分數形式的話就是。
那麼最終我們就能夠得到。
這麼看來，我們應該使用」69法則「（各位不要污），但不知道為何從事金融的業內人士會使用「七二法則」，可能是因為對於具體現實數字的話，這點誤差不是很大吧。
在國外的話，貌似用的都是「70法則」，「69法則」近似版本。
複利公式取對數有n=ln2/ln(1+x)，泰勒展開分母是x-x^2/2，把1-x/2提出來放到分子算一下，當x=0.1時是0.7296（手機打的，將就看下）所有人都讓開，Mathematica大法最好：第一種：x是利率，n是年份第二種：72年除以（利率的100倍）解出來n之後，就是這下面這兩個函數。
然後，從1%的利率，到50%的利率。
一圖勝千言：有人在評論里說，對比一下69，如下圖：今天想了解下原理，查了下72法則推導過程，其實我看到的最清晰的過程是果殼上一篇講無理數e的定義的文章，因為本來就是近似值，沒有用到複雜的泰勒展開，非常巧妙的用n=1000時e的近似值來推導的。
原文在這裡http://www.guokr.com/article/50264/?from=singlemessageisappinstalled=0此外，我在想，e的定義就是x趨近於0時(1+x)^(1/x)的值，那麼兩邊同時取自然對數，也可以得到x=ln(1+x)。
這就是為了3%、6%等數字，算出結果整數好用而已，特別是銀行等機構每日萬分之一的年利率是3.6%，萬分之二的利率是7.2%，這時候用72法則來計算，就顯得很裝逼，不經常計算5%，其他玩不轉的時候拿70到75算也行，反正容錯率高。
記住1%是69年翻倍，綠色的是誤差在2%以內，紅色的誤差5%以上72是2,3,4,6,8,9,12這些數字的倍數，同時除以7或10也很容易得出近似結果。
所以用72能夠在誤差不大的