複利(Compound interest) | 複利公式推導
像這種每年利息加入隔年本金計息的方式，我們就稱為複利，而如果 ... 原本看似不相關的複利公式與歐拉數，在極限的無窮威力下，卻變成了密 ...Tuesday1stJune20211-Jun-2021人工智慧化學物理數學生命科學生命科學文章植物圖鑑地球科學環境能源科學繪圖高瞻專區第一期高瞻計畫第二期高瞻計畫第三期高瞻計畫綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫關於我們網站主選單複利(Compoundinterest)國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立台灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯錢滾錢的方式，可能讓人富有也可能讓有債務的人破產，那麼，錢如何滾錢呢？當然就財務上所謂複利的效果，也就是假設你有$$100$$萬元年初存入銀行，銀行給你一年$$2\%$$的利息，如果每一年計息一次，則一年後你銀行存款就會有$$100\times(1+0.02)=102$$萬，隔年如果繼續存款，那原本利息就會加入本金，也就是說新的一年度，你的本金就會變成$$102$$萬，第二年末的本利和就為$$102\times(1+0.02)=100\times(1+0.02)^2$$萬，如果繼續存了$$5$$年都未領出任何錢，則五年後你的銀行存款會有$$100\times(1+0.02)^5$$，我們利用圖（一）來表示這種情況。
像這種每年利息加入隔年本金計息的方式，我們就稱為複利，而如果現在有本金$$P_0$$，年利率定為$$r(100\%)$$，則$$t$$年後本利和就為$$P_0{(1+r)}^t$$，複利效果也就是等比級數的呈現。
現實生活中，計息週期的方式可能是以年、半年、季、月、半月、周和日計息，不同週期的計息方式，會得到不同的利息錢，而從直觀上，似乎計息的週期越短，錢滾錢效果好像越好，利息越多，真如直觀上的想法嗎？讓我們來驗證看看。
首先，假設一年計息的次數共$$n$$期，即由圖（一）將每一年分割成$$n$$等分且每一等分的利率就會變成$$\frac{r}{n}$$，$$t$$年就會變成$$nt$$期，所以，$$t$$年後本利和就更為$$P_0(1+\frac{r}{n})^{nt}$$。
假設某人借了現金卡$$10$$萬元，年利率$$18\%$$，在一年內都未還任何款項下，那讓我們來看當分別以年、半年、季、月、半月、週、和日計息時，一年後所需還錢會是多少？也就是當$$P_0=10$$萬、$$r=18\%$$、$$t=1$$，$$n$$不同情況的本利和會是多少？由表（一）發現本利和隨著期數增加，會逐漸增加，所以和我們直觀想法是一樣。
隨著期數越增越多至無限制時，又會如何呢？這樣本利和增加會有界限嗎？由表（一），我們可以初步發現似乎在不考慮小數位數下，到一定值會穩定，並不會無限制增加。
當然，如果想得到更精密結果，可能需要藉由數學嚴謹分析與證明，才可以得知該數列是否確實穩定下來，而不會再增加。
利用微積分的語言，我們就可以證明該數列是會收斂到某一個數值。
表（一）當$$P_0=10$$萬、$$r=18\%$$、$$t=1$$，不同利息週期下，一年後本利和既然收斂一詞出現，就得套用為積分的語言，那麼，極限$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}P_0(1+\frac{r}{n})^{nt}$$會收斂於怎樣一個數？如果我們假設$$P_0=1$$、$$r=1$$且$$t=1$$，則複利公式就改成$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$$，而這個式子在數學上就稱為$$e$$，也就是歐拉數（Euler’snumber），如果模擬表（一）的方法，就可以發現$$e$$大約等於$$2.71828\mbox{…}$$，而$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}P_0(1+\frac{r}{n})^{nt}$$就會等於$$P_0e^{rt}$$，取以$$e$$為底的對數為$$\log_e$$，又可以寫成$$\ln$$，稱為自然對數。
原本看似不相關的複利公式與歐拉數，在極限的無窮威力下，卻變成了密不可分，這或許又是數學充滿無限想像的展現吧。
參考文獻：毛爾（EliMaor）著（鄭惟厚譯），《毛起來說e》，台北：天下遠見出版社，2001年。
陳仁政，《不可思議的e》，北京：科學出版社，2005年。
Tags:歐拉數,等比級數,複利前一篇文章下一篇文章您或許對這些文章有興趣惠更斯(ChristiaanHuygens)專題泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)）海芭夏(Hypa
像這種每年利息加入隔年本金計息的方式，我們就稱為複利，而如果現在有本金$$P_0$$，年利率定為$$r(100\%)$$，則$$t$$年後本利和就為$$P_0{(1+r)}^t$$，複利效果也就是等比級數的呈現。
現實生活中，計息週期的方式可能是以年、半年、季、月、半月、周和日計息，不同週期的計息方式，會得到不同的利息錢，而從直觀上，似乎計息的週期越短，錢滾錢效果好像越好，利息越多，真如直觀上的想法嗎？讓我們來驗證看看。
首先，假設一年計息的次數共$$n$$期，即由圖（一）將每一年分割成$$n$$等分且每一等分的利率就會變成$$\frac{r}{n}$$，$$t$$年就會變成$$nt$$期，所以，$$t$$年後本利和就更為$$P_0(1+\frac{r}{n})^{nt}$$。
假設某人借了現金卡$$10$$萬元，年利率$$18\%$$，在一年內都未還任何款項下，那讓我們來看當分別以年、半年、季、月、半月、週、和日計息時，一年後所需還錢會是多少？也就是當$$P_0=10$$萬、$$r=18\%$$、$$t=1$$，$$n$$不同情況的本利和會是多少？由表（一）發現本利和隨著期數增加，會逐漸增加，所以和我們直觀想法是一樣。
隨著期數越增越多至無限制時，又會如何呢？這樣本利和增加會有界限嗎？由表（一），我們可以初步發現似乎在不考慮小數位數下，到一定值會穩定，並不會無限制增加。
當然，如果想得到更精密結果，可能需要藉由數學嚴謹分析與證明，才可以得知該數列是否確實穩定下來，而不會再增加。
利用微積分的語言，我們就可以證明該數列是會收斂到某一個數值。
表（一）當$$P_0=10$$萬、$$r=18\%$$、$$t=1$$，不同利息週期下，一年後本利和既然收斂一詞出現，就得套用為積分的語言，那麼，極限$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}P_0(1+\frac{r}{n})^{nt}$$會收斂於怎樣一個數？如果我們假設$$P_0=1$$、$$r=1$$且$$t=1$$，則複利公式就改成$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$$，而這個式子在數學上就稱為$$e$$，也就是歐拉數（Euler’snumber），如果模擬表（一）的方法，就可以發現$$e$$大約等於$$2.71828\mbox{…}$$，而$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}P_0(1+\frac{r}{n})^{nt}$$就會等於$$P_0e^{rt}$$，取以$$e$$為底的對數為$$\log_e$$，又可以寫成$$\ln$$，稱為自然對數。
原本看似不相關的複利公式與歐拉數，在極限的無窮威力下，卻變成了密不可分，這或許又是數學充滿無限想像的展現吧。
參考文獻：毛爾（EliMaor）著（鄭惟厚譯），《毛起來說e》，台北：天下遠見出版社，2001年。
陳仁政，《不可思議的e》，北京：科學出版社，2005年。
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