加入成為作者登入登入幫助中心從生活看數學追蹤專題付費閱讀Caspar追蹤2018-07-07|閱讀時間‧約6分鐘8收藏分享從生活認識微積分（四）：變化與斜率作者已霧化此圖片，請斟酌點閱。

圖片來源：https://pixabay.com/zh/%E9%87%87%E7%A9%97%E5%9C%83-%E5%B9%BC%E8%8B%97-%E8%83%9A%E5%8F%B6-%E5%8E%82-%E5%9C%B0%E7%90%83-%E5%8F%91%E5%8A%A8%E6%9C%BA-%E5%B9%B4%E8%BD%BB-%E6%96%B0%E7%94%9F%E6%B4%BB-%E6%B4%BB-2735924/；圖片作者：haderer17；授權方式：CC0CreativeCommons這是微積分科普系列文章的第四篇，在討論微分律之前，讀者需先認識斜率的定義，並能區分平均與瞬時變化率的差異。

因為微分律由導數推衍而來，而導數即是求函數圖形上，某一點的切線斜率。

本文從生活中的變化講起，提出變化率的計算方式，與數學中斜率的定義。

一、生活中的「變化」：　　你一定經歷過許多生活中的改變。

先從長時間的變化說起：隨著時間流逝，人會不斷成長，只要還在發育，身高、體重，與面貌都會不斷改變；而都市街景、環境也隨著時間改變，歷經數十年，可能已由較矮的平房，變成高聳的大樓，城市中的綠地、農田面積，也隨著時間逐漸減少，被人類開發完畢；植物幼苗歷經四、五十年，可以長成大樹。

生活中也有許多短時間變化，最常見的就是通勤時的位置變化，從家裡出發，一小時後抵達公司，或是坐上高鐵，經過不久後，你就已抵達另一個縣市；在冬天時，一碗熱騰騰的湯麵上桌不久後，就會因熱量散失逐漸散失；除了時間帶來的改變，還有許多貼近的生活的例子，一樣產品如果定價變得越貴，願意購買的消費者越少，這是價格影響購買量的變化；距離音響的距離越遠，聽到的音量越小聲，這是距離帶來的變化。

二、「變化率」的由來：　　只形容一種單位的改變不是變化率，只能稱之為變化。

用文章上述坐列車的例子來說明，如果只寫：「列車的移動了10公里」，這只描述位移，沒有表達時間的流逝，因此，只能稱10公里為「位置變化」而非「變化率」。

要算變化率，就要寫出另一單位的改變才能計算，例如：加上「經過一個半小時」，位置移動了10公里，就能計算平均變化率。

有兩個單位，要選擇一個作為基準，若要利用「小時」作為基準單位，「公里」為對應變化單位，表達「位置對單位時間的變化率」，就須將時間變化放置在分母，位置變化放在分子，在數學中可以分數方式表示以上觀念：位置變化/時間變化=作者已霧化此圖片，請斟酌點閱。

這個分數表示的意義是：「平均來看，列車每經過一小時時間，移動20/3公里」，在物理中位置對時間的變化率即是速度，換句話說這輛列車的平均速度是20/3(單位：公里/小時)。

　　同樣地，如果觀察的不是列車位置的移動，而是植物的成長，亦要區別變化與變化率。

假設有一份植物觀察日記，寫下植物發芽後長高了15公分，只形容了高度變化，因此不能稱15公分為變化率，但若加上另一時間單位：天數，紀錄寫成「五天過後，植物成長了15公分」，目前的資訊，若以天數作為基準單位，就能求出高度對時間的變化率了，只需將高度變化15cm除以5天，其寫成分數形式為：作者已霧化此圖片，請斟酌點閱。

　　表示的意義是：「平均來看，植物每過1天，成長3公分」　　經過上述討論，讀者已經了解變化與變化率區別，變化率必須要有兩種單位的變化，才能利用分數（註1），將一種單位除以另一種單位算出答案。

實際例子是：位置對時間的變化率，即以時間作為基準，要用位置變化除以時間：位置變化/時間變化；而植物高度對時間的變化率，亦以時間作為基準，要用高度變化除以時間：高度變化/時間變化。

一晚熱湯麵的溫度會逐漸降低，湯麵的溫度對時間的變化率，即以時間作為基準，用溫度變化除以時間：溫度變化/時間變化，就可算出湯麵冷卻的平均速度。

三、斜率的定義：　　數學中的斜率就是一種變化率，但數學家追求一般化問題，換句話說，數學家希望能用一個抽象的關係，來顯示眾多例子上的共同點，讓你在各種形形色色的事件當中，都能發現同樣的數學觀念，並能用同樣的方式求出解答。

因此數學定義斜率，不能以具體的生活例子定義，必須將變化率的定義抽象化，觀察上述舉的例子：距離對時間的變化率為速度，植物高度對時間的變化率為成長速度，變化率皆由兩個單位組成，變化率需要是一個單位對基準

名詞解釋: 若 是x的函數 ，則稱 為y在a和b之間的平均變化率。

例如： ，則x在2和5之間y的平均變化率為. 備註: 平均變化率. average rate of change. 以average rate ...回首頁網站地圖關於我們聯絡我們詞彙查詢下載專區詞彙建議審譯會×請輸入您的使用者帳號密碼帳號請輸入註冊的email。

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登入離開釋義翻譯回簡目列表 修訂/勘誤建議單筆輸出平均變化率averagerateofchange蔡炎盛2012年10月數學名詞釋義名詞解釋:若是x的函數，則稱為y在a和b之間的平均變化率。

例如：，則x在2和5之間y的平均變化率為備註:平均變化率averagerateofchange以averagerateofchange進行詞彙精確檢索結果出處/學術領域英文詞彙中文詞彙學術名詞數學名詞-兩岸中小學教科書名詞averagerateofchange平均變化率學術名詞數學名詞-高中(含)以下數學名詞averagerateofchange平均變化率學術名詞數學名詞averagerateofchange平均變化率學術名詞人體解剖學averagerateofchange平均變化率以平均變化率進行詞彙精確檢索結果出處/學術領域中文詞彙英文詞彙學術名詞數學名詞-兩岸中小學教科書名詞平均變化率averagerateofchange學術名詞數學名詞-高中(含)以下數學名詞平均變化率averagerateofchange學術名詞數學名詞平均變化率averagerateofchange學術名詞人體解剖學平均變化率averagerateofchange引用網址:推文評分評分相關詞彙詞彙建議學術名詞平均變化率averagerateofchange平均變化率averagerateofchange平均變化率averagerateofchange平均變化率　averagerateofchange　平均變化率averagerateofchange辭書平均變化率averagerateofchange平均變化率averagerateofchange暫無建議訊息

2 01 微積分09 斜率與變化率. Uploaded by NCCU Moocs on 2014-11-24. 附件. 1. Snap8.png (38 KB). 2. Snap10.png (8 KB). 長度: 09:51, 發表時間: 2016-01-19 ...登入首頁收藏0返回課程09微積分斜率與變化率[自學課程]微積分第一週&第二週微積分課程內容100微積分函數是什麼101微積分函數的範例102微積分函數的四大天王103微積分好的函數長這樣104微積分極限的概念105微積分快速求極限的方法106微積分左極限,右極限107微積分連續函數的定義108微積分連續函數定理政大MOOCs微積分GeoGebra教學01政大MOOCs微積分GeoGebra教學02政大MOOCs微積分GeoGebra教學03數值滑桿政大MOOCs微積分GeoGebra教學04分段定義函數政大MOOCs微積分GeoGebra教學05輸出動態圖檔政大MOOCs微積分GeoGeBra補充分段函數政大MOOCs微積分GeoGebra補充ggb轉貼Word政大MOOCs微積分GeoGeBra補充插入圖片政大MOOCs微積分GeoGebra作業01連續函數破壞王!政大MOOCs微積分連續函數破壞王阿亮師提示1政大MOOCs微積分連續函數破壞王阿亮師提示2作業01_連續函數破壞王(繳交作業區)(請務必繳交GGB檔)6/15截止政大MOOCs微積分GeoGebra作業02高斯函數很好玩!政大MOOCs微積分高斯函數很好玩阿亮師提示作業02_高斯函數很好玩(繳交作業區)(請務必繳交GGB檔)6/15截止第一週&第二週微積分自主複習內容政大MOOCs微積分GeoGebra作業01連續函數破壞王提示政大MOOCs微積分複習00函數是什麼?複習小測驗01政大MOOCs微積分複習01函數的範例複習小測驗02複習小測驗03政大MOOCs微積分複習04極限的概念複習小測驗04政大MOOCs微積分複習05-06求極限的方法複習小測驗05複習小測驗06政大MOOCs微積分複習07連續函數的定義複習小測驗07政大MOOCs微積分複習08連續函數定理複習小測驗08複習作業_01_函數的極限與連續(繳交作業區)自由練習繳交6/22截止第三週微積分課程內容09微積分斜率與變化率阿亮師的高中數學複習斜率的複習阿亮師的高中數學複習切線到底是什麼010微積分切線真的很像我們的函數011微積分導數的定義012微積分導函數的例子政大MOOCs微積分GeoGebra教學06增加互動功能政大MOOCs微積分GeoGebra教學07設定和取座標政大MOOCs微積分GeoGebra教學08勾選框作業03_勾選框(繳交作業區)(請務必繳交GGB檔)6/22截止第三週微積分自主複習內容政大MOOCs微積分複習09斜率與變化率政大MOOCs微積分複習11導數的定義複習小測驗09第四週微積分課程內容微積分013快速微分法微積分014快速微分法的練習微積分15微分秘技01微積分16微分秘技02作業04_平滑接起兩段函數(繳交作業區)(請務必繳交GGB檔)6/29截止第四週微積分自主複習內容政大MOOCs微積分複習13導數的計算規則複習小測驗10複習小測驗11複習小測驗12複習小測驗13政大MOOCs_暑期班_微積分期中考微積分期中考試第五週微積分課程內容政大MOOCs微積分017連鎖律政大MOOCs微積分018高階導數政大MOOCs微積分019不可微的函數政大MOOCs微積分GeoGebra作業05可微函數破壞王政大MOOCs微積分GeoGebra作業05提示政大MOOCs微積分可微函數破壞王紹文老師提示作業05_可微函數破壞王(繳交作業區)(請務必繳交GGB檔)7/6截止第五週微積分自主複習內容政大MOOCs微積分複習17鏈鎖律政大MOOCs微積分複習微分公式複習小測驗14政大MOOCs微積分複習18高階導函數政大MOOCs微積分複習左右極限以及極限的定義複習小測驗15政大MOOCs微積分複習19不可微函數複習小測驗16(修正解答，請同學重新測驗謝謝)第六週微積分課程內容政大MOOCs微積分020函數繪圖三步曲政大MOOCs微積分021當x走向無窮大的時候政大MOOCs微積分022水平漸近線政大MOOCs微積分023垂直漸近線政大MOOCs微積分024漸近線完結篇作業06_可愛的冏函數(繳交作業區)(請務必繳交GGB檔)7/13截止第六週微積分自主複習內容複習小測驗17複習小測驗18政大MOOCs微積分複習22水平漸近線複習小測驗19政大MOOCs微積分複習23垂直漸近線複習小測驗20政大MOOCs微積分複習漸近線的應用複習小測驗21第七週微積分課程內容(快要結束摟!加油加油~!!)政大MOOCs微積分025快

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日誌相簿影音好友名片201205011218微分的應用-變化率?微積分的應用積分的運用實例很多，如求曲線下的面積、弧長、表面積、體積...，那微分可以用在那些場合呢？找了一些例子來Demo微分常用的場合，它經常和變化率扯上關係。

微分的應用–變化率1.一個圓錐水槽深20m，頂圓半徑2m，今以流速每秒5立方公尺的速度注水，當水深在2m時，其液面上升的速度是每秒多少公尺？Ans：125/pi 2.一個圓柱水槽深20m，底圓半徑2m，今以流速每秒5立方公尺的速度注水，當水深在10m時，其液面上升的速度是每秒多少公尺？Ans：5/(4*pi) 3.一個圓錐水槽深20m，頂圓半徑2m，今於水槽下方挖一個半徑20公分的圓孔來排水，當水深在10m時，其液面下降的速度是每秒多少公尺？Ans：(5g)^0.5/50 4.某人吹一氣球以每秒20立方公分的流速吹入空氣，則氣球在直徑是10公分時，直徑增加的速度是每秒多少公分？Ans：1/(10*pi) 5.一顆球若以表面積每秒5平方公分的速率膨脹，當半徑是8公分時，其体積增加率是多少？Ans：80  這些題目的詳解請看「微分的應用-變化率.pdf」水風清/Xuite日誌/回應(0)/引用(0)半球形水槽--微積分的實例...|日誌首頁|求橢圓周長上一篇半球形水槽--微積分的實例應用...下一篇求橢圓周長回應加我為好友日誌相簿影音全部展開|全部收合累積|今日loading......ygbird's新文章網球四大滿貫冠軍的紀錄保持人Excel使用搜尋取代改變大量excel公式的部分字網頁、部落格中輸入數學式（Latex）部分分式在積分的運用一日串連雙北自行車道自行車牽上台鐵火車(兩鐵列車)不要當過勞的公雞費德勒(RogerFederer)的發球一個畫3度空間作圖的立體座標軸(Geogebra)從指數函數的微分談自然對數e(e存在的關鍵性)從自製一張對數表談底數的選用關鍵字ygbird's新回應沒有新回應！平均分數：0顆星投票人數：0人我要評分：

曲線y = \sqrt x 在x = \frac{1}{4} 的瞬間變化率為？ (A) 1 (B) \frac{1}{2} (C) 2 (D) \frac{1}{4}. 詳解：y = \sqrt x ，對x 微分，得. \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d\left( {\sqrt x } ...課程單元課程簡介教學大綱製作團隊關鍵詞彙意見反映首頁>課程單元課程簡介教學大綱製作團隊關鍵詞彙>01單元基礎數學02單元極限03單元連續性04單元漸近線05單元導函數06單元指數與對數07單元指數與對數的微分08單元微分技巧延伸09單元三角函數(一)10單元三角函數(二)11單元三角函數的微分12單元相對極大與極小13單元絕對極值14單元近似值15單元相關變率16單元羅必達法則17單元不定積分18單元不定積分的其他技巧>15.1單元介紹15.2引發學習動機15.3主題十八：相關變率15.4精熟學習15.5課後作業15.6結語15.7補充教材15.8友善下載15.9延伸閱讀15.10參考文獻>瞬間速度變化瞬間變化率瞬間變化率應用一瞬間變化率應用二瞬間變化率應用三 曲線\(y=\sqrtx\)在\(x=\frac{1}{4}\)的瞬間變化率為？(A)1  (B)\(\frac{1}{2}\)  (C)\(2\)  (D)\(\frac{1}{4}\)詳解：\(y=\sqrtx\)，對\(x\)微分，得\(\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{d\left({\sqrtx}\right)}}{{dx}}=\frac{1}{{2\sqrtx}}\)，令\(x=\frac{1}{4}\)表示在\(x=\frac{1}{4}\)時之瞬間變化率\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt\frac{1}{4}}=1\)故選(A) 微積分一calculusI由CUSTCourses李柏堅製作，以創用CC姓名標示-非商業性-禁止改作3.0台灣授權條款釋出