機率. 獨立事件; 相依事件. compound experiment. 隨機變數. 離散型隨機變數. 連續型隨機變數. 累積分佈函數 (CDF); 機率密度函數 (pdf). 期望值; 變異數; 標準差.機率簡介參考I:introductiontoprobabilitybyGrinstead&Snell.參考II:FiniteMathematics&AppliedCalculus,byS.Waner&S.R.Costenoble.參考III:MIT18.05.參考IV:cmuprobabilityandstatistics參考V:統計與臨床試驗隨機試驗樣本空間;事件機率獨立事件;相依事件compoundexperiment隨機變數離散型隨機變數連續型隨機變數累積分佈函數(CDF);機率密度函數(pdf)期望值;變異數;標準差常態分佈top機率出現的場景不能用因果論來推斷,詮釋時.例.擲一個骰子的結果.子女遺傳自父母的基因表現.top背景語言說明隨機試驗(randomexperiment):可重複操作,且每次操作的結果(outcome)有一種以上之可能性的試驗.樣本空間(samplespace):對一固定的隨機試驗,所有可能出現的結果所成的集合.常用符號:.事件(events):一些outcome的集合(或:的子集合).設A,B為事件,AB:A,B都發生.AB:A或B發生.機率(probability):一個定義在事件上,且滿足下列三條件的實數函數P,稱為一機率函數.(1)對任一事件A,0P(A)1.(2)P()=0.(3)若事件AB=,則P(AB)=P(A)+P(B).二事件A,B稱為equallylikelyP(A)=P(B).AismorelikelythanBP(A)>P(B).top例.擲銅板.正(H)反(T)面出現機會均等(outcomesareequallylikely).試驗:擲一銅板.={H,T}.事件(E):恰出現一次正面.E={H}.P(E)=1/2.事件(F):恰出現一次反面.F={T}.P(F)=1/2.事件-恰出現一次正面且出現一次反面:EF=.P(EF)=0.試驗:一次擲二銅板.={HH,HT,TT}.事件(E):恰出現一次正面.E={HT}.P(E)=1/2.事件(F):恰出現一次反面.F={HT}.P(F)=1/2.事件-恰出現一次正面且出現一次反面:EF={HT}.P(EF)=1/2.試驗:連續擲一銅板兩次.={HH,HT,TH,TT}.事件(E):恰出現一次正面.E={HT,TH}.P(E)=1/4+1/4=1/2.事件(F):恰出現一次反面.F={HT,TH}.P(F)=1/4+1/4=1/2.事件-恰出現一次正面且出現一次反面:EF={HT,TH}.P(EF)=1/2.事件(A):先正面後反面.A={HT}.P(A)=1/4.試驗:連續擲一銅板三次.={HHH,HHT,HTH,HTT,TTT,TTH,THT,THH}.事件(E):恰出現一次正面.E={HTT,TTH,THT}.P(E)=3/8.事件(F):恰出現一次反面.F={HHT,HTH,THH}.P(F)=3/8.事件-恰出現一次正面且出現一次反面:EF=.P(EF)=0.top袋中有標示1~5號的球各一個.各球被取出機率均等.試驗:每次取一球,不放回去,再取一球.={(i,j)|1i5,1j5,ij}.事件(A):第一次出現3.A={(3,1),(3,2),(3,4),(3,5)}.P(A)=1/5.事件(E):(恰)出現(一次)3.E={(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(1,3),(2,3),(4,3),(5,3)}.P(E)=1/5+(4/5)(1/4)=2/5.試驗:每次取一球,放回去,再取一球.={(i,j)|1i5,1j5}.事件(A):第一次出現3.A={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)}.P(A)=1/5.事件(B):兩次都是3.B={(3,3)}.P(B)=1/25.事件(E):(恰)出現(一次)3.E={(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(1,3),(2,3),(4,3),(5,3)}.P(E)=(1/5)(4/5)+(4/5)(1/5)=8/25.top機率計算法則.設A,B為事件.P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).P(Ac)(A的餘集合)=1-P(A).條件機率(conditionallyprobability)A,B為事件.在B已發生的情況下,發生A的機率,稱為條件機率.符號:P(A|B).公式:P(A|B)=P(AB)/P(B).(若P(B)=0,則P(A|B)沒有定義.獨立事件(independentevents)事件A,B互為獨立如

機率密度函數（probability density function, PDF）. 從微積分的觀念來理解：這個函數的Y值，就是觀察特徵值X值對應的樣本數，其函數曲線 ...行為研究English吳統雄國際研究團隊知識光譜第1類知識第2類知識第3類知識取用行為模式研究目錄教學課程頁研究方法統計多變項分析參考延伸文獻討論區目錄站務與協助☰社群地圖社群新聞│吳統雄履歷研究教學服務榮譽│社科第1類知識第2類知識第3類知識研究方法統計/多變項分析投票行為與選舉預測53237選民結構人類取用行為新典範取用行為國際研究團隊│資管管理學‧經濟學資訊系統開發電子商務網路教育數位電視產學合作就業進修‧甄選必勝│文創數位美學/數位文創導論數位出版/電子書視覺設計優化網站數位視訊/微電影數位文創管理大學青年‧網路雜誌│電音統雄數位音樂作品選我,被禁唱的民歌手數位音樂創作教學統雄的音樂知識美學歡迎聽歌.點歌.下載樂譜│人文公共評論法律評論社會評論教育文化傳媒評論科技科普評論美語樂學文學創作萬象現代(NBA)資訊社會幽默人生統雄-統計神掌機率與分配StatisticsProbabilityandDistribution神掌打通任督二脈‧易筋經以簡馭繁符號意義:統雄快訣延伸閱讀進階議題警示訊息統計精華機率與機率論機率分配二項分配常態分配常態分配的來源Gamma分配機率分配與中央極限定理無母數統計/非機率分配統計機率悖論統計與理論建構篇統計方法SPSS應用篇推論的基礎觀念基於常態分配，其為機率分配的一種。

 機率與機率論機率就是碰運氣會發生某種事件的現象，典型的機率現象有扔硬幣、擲骰子、抽撲克牌以及輪盤遊戲等。

機率論就是從隨機變項、隨機程序、與發生事件3方面，研究機率現象。

 機率的估計值必須在「大數法則」下，才會實現；同時在「大數」時，觀察樣本會呈現「中央極限」現象，這是我們下一步解釋推論統計的基礎。

 機率現象是推論統計的基礎，而機率論已形成數學中的一個支流，並發展出許多有趣的悖論個案，而其中心旨意即：隨機現象與人類許多直覺並不相同。

 機率論博大精深、還有無限發展可能。

統雄老師的「接龍實驗」，也是試圖提出另一種機率預測的思想方法。

Probabilitytheoryisthebranchofmathematicsconcernedwithprobability,theanalysisofrandomphenomena.Thecentralobjectsofprobabilitytheoryarerandomvariables,random(stochastic)processes,andevents:mathematicalabstractionsofnon-deterministiceventsormeasuredquantitiesthatmayeitherbesingleoccurrencesorevolveovertimeinanapparentlyrandomfashion.Ifanindividualcointossortherollofdiceisconsideredtobearandomevent,thenifrepeatedmanytimesthesequenceofrandomeventswillexhibitcertainpatterns,whichcanbestudiedandpredicted.Tworepresentativemathematicalresultsdescribingsuchpatternsarethelawoflargenumbersandthecentrallimittheorem.機率分配機率分配的傳統定義因為區別廣義（定義原理）、狹義（定義函數），以及各種應用時機，各個文獻的敘述通常很瑣碎、也很難懂。

統雄老師嘗試以白話說明：機率分配是某種樣本的集合，集合裡包括樣本會產生的統計量，以及各統計量所佔的樣本數。

而機率分配的狹義定義，就是描述這個集合的函數，又分為2類：機率密度函數（probabilitydensityfunction,PDF），累積分佈函數（cumulativedistributionfunction,CDF）。

機率密度函數（probabilitydensityfunction,PDF）從微積分的觀念來理解：這個函數的Y值，就是觀察特徵值X值對應的樣本數，其函數曲線所覆蓋的面積，就是總樣本數。

（參見以下常態分配圖形）這就是統雄老師教統計，要先教微積分的理由之一。

與其累積分佈函數（cumulativedistri

4 目錄序2 本書之主要數學符號6 1 機率概論隨機試驗機率論的歷史及古典機率σ 域機率空間條件機率獨立性第一章習題隨機變數隨機變數隨機變數之分配函數隨機 ...機率論SHAREHTMLDOWNLOADSize:pxStartdisplayatpage:Download"機率論"Error:DownloadDocument幼古5yearsagoViews:12科學文化的提昇,不是一蹴可及,必須付出很大的心力,歷經很多年代,才能看出一些端倪;不是製造幾顆核彈,發表幾篇論文或者得到某些大獎就代表某個國家如何先進有二個因素是十分重要的,其一是按步就班全心投入;其二是針對當時的需要,集思廣益,努力解決台灣這些年來各方面的進步是有目共睹,就因為如此有很多人產生了更高期望,恨不能明天一早,我們就躋身列強之林,國民所得超過日本,科學技術趕上英美,文學藝術不輸德法蘇俄如果我們平心靜氣探討這些國家是如何達到今日的局面,我們不難看出,羅馬不是一天造成的,羅馬也不是天才的結晶,雖然你我都不是天縱奇才,但我們卻不應該放棄對國家社會的一分關愛和努力,這就是我寫這本書的動機在成大數學系教了十多年的機率論,用過一些英文教本,有的很深,有的容易,但嚴格說來,都不可一成不變的教下去,理由有二,其一我們的大學生所學的高中數學和大一微積分與美國大學生並不一致;其二是機率論經過二百多年的演進有不少新東西,這些新觀念不是一般理工大學生所能領必須有更進一步的工具才能登堂入室享受這些智識職是之故,機率論的教學就必須針對以上條件去搜集資料而編成教材;十多年來,本人的講義就在此一構想之下,每年增增改改,四年前又接下應數所的高等機率論課程,因此深深体認,大學機率論必須提昇到更高境界,否則訓練出來的學生將難以勝任研究所的課程如今,講義大致已經定型,乃決心付印,本書主要特點如下:一以公設化方法界定機率空間,這是機率的基礎,然後和古典機率銜接起來,一方面可以避免要的詭論,另一方面也不會過分空泛不著邊際;二以抽象積分方式界定期望值,一般初等機率論書籍,多半利用密度函數來界定期望值,但因許多分配並無密度函數,這種定義方法無異畫地自限我們在第五章中採用以抽象積分方法界定期望值,此一方法包含了傳統的定義,也可適應進一步的研究和發展;三介紹特徵函數,Laplace變換和Fourier變換在分析學中極具重要性,應用于機率論更屬不可或缺,但以前者所得之動差生成函數,往往有存在性問題,而以後者所得之特徵函數,在第六章中我們可以確認它並沒有不存在的道理,因此,其重要性遠非動差生成函數可以比擬;四跟隨機率發展史,介紹收斂理論,許多學過機率的人對於中央極限定理和大數定律,往往不能領略其意義和重要性,本書特別由歷史的角度探討這兩個主題以使讀者有全盤的認識23本書主要的對象為大學理工管理學院之學生,緊接初等微積分的步伐,以一貫嚴格旳數學精神寫成對於部分讀者或許會稍感深奧,其實,清楚的界定,邏輯的推演,才是學習數學最佳的途徑如有誤謬或未盡明白之處,歡迎來函賜正最後,本人要特別感謝成大數學系林宜禧陳珍漢以及李育嘉三位教授,在他們擔任系主任期間,給予我講授機率論這門課的機會當然更要感謝比利時魯汶大學數學所R.Ballieu教授,由於他,我才開始認識現代的機率論顏國勇1987年九月於成大數學系本書經過一再修訂,在1998年發行再版,由於機率論屬於較冷門課程,第一版發行以賠本收場,第二版則勉強打平但本於此書對於修課學生及其他機率入門者,或有些許幫助,當不計盈虧全力以赴不少人在退休之後,投身志工,回饋社會筆者退休數年,自認應以餘年對於社會略盡棉薄之力,乃決定重編此書,而成另類志工退休前之教學過程中,發現書中有若干錯誤或不週全之處,必須修改,然而原先以軟體CTEX編輯而成之檔案,先天上受限於只能在DOS環境工作,而發行CTEX之倚天公司無意將它升級為Window版,換言之,CTEX已無法再使用,筆者唯一的選擇乃改為以軟體cwtex排版系統重編此書此二編輯軟體,前者為PlainTEX,後者則為LaTEX,雖為近親,但語法差異頗大,古稀之年重新學習一種新語法,辛苦之程度可以想見,經過數個月的努力,克服困難,終於完工近年來,網際網路發展迅速,本書之修訂三版,不再以傳統印刷和大家見面,僅以網路電子書面貌問世,或可幫助更多各地使用中文之讀者尚望各界先進不吝指教顏國勇2011年九月於台灣台南34目錄序2本書之主要數學符號61機率概論隨機試驗機率論的歷史及古典機率σ域機率空間條件機率獨立性第一章習題隨機變數隨機變數隨機變數之分配函數隨機變數之分類常用離散型隨機變數常用連續型隨機變數奇異分配與混和型分配隨機變數變換之分配函數隨機變數變換之密度函數第二章習題隨機向量隨機向量及其分配常用隨機向量之分配隨機向量之分配函數邊際分配條件分配隨機向量

在數學中，連續型隨機變數的機率密度函數（Probability density function，簡寫作pdf），在不致於混淆時可簡稱為密度函數，是一個描述這個隨機變數的輸出值， ...機率密度函數維基百科，自由的百科全書跳至導覽跳至搜尋以盒狀圖與機率密度函數展示的常態分布N(0, σ2).在數學中，連續型隨機變數的機率密度函數（Probabilitydensityfunction，簡寫作pdf[1]），在不致於混淆時可簡稱為密度函數，是一個描述這個隨機變數的輸出值，在某個確定的取值點附近的可能性的函數。

圖中，橫軸為隨機變數的取值，縱軸為機率密度函數的值，而隨機變數的取值落在某個區域內的機率為機率密度函數在這個區域上的積分。

當機率密度函數存在的時候，累積分布函數是機率密度函數的積分。

機率密度函數有時也被稱為機率分布函數，但這種稱法可能會和累積分布函數或機率質量函數混淆。

目錄1常見定義1.1性質2例子3應用4特徵函數5參見6參考文獻6.1引用6.2書籍常見定義[編輯]對於一維實隨機變數X，設它的累積分布函數是FX(x){\displaystyleF_{X}(x)}。

如果存在可測函數fX(x){\displaystylef_{X}(x)}，滿足：∀−∞
[2]性質[編輯]連續型隨機變數的機率密度函數有如下性質：∀−∞
更準確來說，如果一個函數和X的機率密度函數取值不同的點只有有限個、可數無限個或者相對於整個實數軸來說測度為0（是一個零測集），那麼這個函數也可以是X的機率密度函數。

連續型的隨機變數取值在任意一點的機率都是0。

作為推論，連續型隨機變數在區間上取值的機率與這個區間是開區間還是閉區間無關。

要注意的是，機率P[X=a]=0{\displaystyle\mathbb{P}\left[X=a\right]=0}，但{X=a}{\displaystyle\{X=a\}}並不是不可能事件。

[2]例子[編輯]連續型均勻分布的機率密度函數最簡單的機率密度函數是均勻分布的密度函數。

對於一個取值在區間[a,b]{\displaystyle[a,b]}上的均勻分布函數I[a,b]{\displaystyle\mathbf{I}_{[a,b]}}，它的機率密度函數：fI[a,b](x)=1b−aI[a,b]{\displaystylef_{\mathbf{I}_{[a,b]}}(x)={\frac{1}{b-a}}\mathbf{I}_{[a,b]}}也就是說，當x不在區間[a,b]{\displaystyle[a,b]}上的時候，函數值等於0，而在區間[a,b]{\displaystyle[a,b]}上的時候，函數值等於1b−a{\displaystyle\scriptstyle{\frac{1}{b-a}}}。

這個函數並不是完全的連續函數，但是是可積函數。

常態分布的機