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2. 機率論
致使用者：請搜尋一下條目的標題（來源搜尋："概率論" — 網頁、新聞、 ... 機率論（英語：Probability theory）是集中研究機率及隨機現象的數學分支，是研究隨機 ...機率論維基百科，自由的百科全書跳至導覽跳至搜尋本條目存在以下問題，請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。
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統計學系列條目概率論概率公理概率空間樣本空間基本事件（英語：Elementary_event）事件隨機變量概率測度對立事件聯合分布邊緣分布條件概率統計獨立性條件獨立全概率公式大數定律貝葉斯定理布爾不等式文氏圖樹形圖閱論編典型的機率問題：「擲一顆公正的骰子，出現3點的機率是多少？」機率論（英語：Probabilitytheory）是集中研究機率及隨機現象的數學分支，是研究隨機性或不確定性等現象的數學。
機率論主要研究物件為隨機事件、隨機變數以及隨機過程。
對於隨機事件是不可能準確預測其結果的[1]，然而對於一系列的獨立隨機事件——例如擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤等，會呈現出一定的、可以被用於研究及預測的規律[2]，兩個用來描述這些規律的最具代表性的數學結論分別是大數法則和中央極限定理。
「機率論」的各地常用別名中國大陸概率論臺灣機率論港澳概率論日本、韓國漢字確率論作為統計學的數學基礎，機率論對諸多涉及大量數據定量分析的人類活動極為重要[3]，機率論的方法同樣適用於其他方面，例如是對只知道系統部分狀態的複雜系統的描述——統計力學，而二十世紀物理學的重大發現是以量子力學所描述的原子尺度上物理現象的機率本質[4]。
數學家和精算師認為機率是在0至1閉區間內的數字，指定給一發生與失敗是隨機的「事件」。
機率P(A){\displaystyleP(A)}根據機率公理來指定給事件A{\displaystyleA}。
一事件A{\displaystyleA}在一事件B{\displaystyleB}確定發生後會發生的機率稱為B{\displaystyleB}給之A{\displaystyleA}的條件機率；其數值為P(B∩A)P(B){\displaystyle{P(B\capA)\overP(B)}}。
若B{\displaystyleB}給之A{\displaystyleA}的條件機率和A{\displaystyleA}的機率相同時，則稱A{\displaystyleA}和B{\displaystyleB}為獨立事件。
且A{\displaystyleA}和B{\displaystyleB}的此一關係為對稱的，這可以由一同價敘述：「當A{\displaystyleA}和B{\displaystyleB}為獨立事件時，P(A∩B)=P(A)P(B){\displaystyleP(A\capB)=P(A)P(B)}。
」中看出。
機率論中的兩個重要概念為隨機變數和隨機變數的機率分布兩種。
目錄1生活例子2歷史3事件3.1單位事件、事件空間、隨機事件3.2事件的計算4機率的定義4.1傳統機率(古典機率)(拉普拉斯機率)4.2統計機率4.3現代機率論5機率公理6完全機率7貝氏定理8機率分布9機率論的應用10參見11參考文獻生活例子[編輯]人們對機率總是有一點觸摸不清的感覺，而事實上也有很多看似奇異的結果：1;六合彩：在六合彩（49選6）中，一共有13,983,816種可能性（參閱組合數學），如果每周都買一組不相同的號，一年有52周，則在實驗越多次（一直買直到中獎算一次）之後，平均中獎所花的時間會越接近1398381652=268919{\displaystyle{\frac{13983816}{52}}=268919}。
事實上，即使每周買相同的號，獲得頭獎的機率也是相同的。
但假設每周實際中獎的組合都不重複，268919年的算術推論是正確的，這說明機率和
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機率論主要研究物件為隨機事件、隨機變數以及隨機過程。
對於隨機事件是不可能準確預測其結果的[1]，然而對於一系列的獨立隨機事件——例如擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤等，會呈現出一定的、可以被用於研究及預測的規律[2]，兩個用來描述這些規律的最具代表性的數學結論分別是大數法則和中央極限定理。
「機率論」的各地常用別名中國大陸概率論臺灣機率論港澳概率論日本、韓國漢字確率論作為統計學的數學基礎，機率論對諸多涉及大量數據定量分析的人類活動極為重要[3]，機率論的方法同樣適用於其他方面，例如是對只知道系統部分狀態的複雜系統的描述——統計力學，而二十世紀物理學的重大發現是以量子力學所描述的原子尺度上物理現象的機率本質[4]。
數學家和精算師認為機率是在0至1閉區間內的數字，指定給一發生與失敗是隨機的「事件」。
機率P(A){\displaystyleP(A)}根據機率公理來指定給事件A{\displaystyleA}。
一事件A{\displaystyleA}在一事件B{\displaystyleB}確定發生後會發生的機率稱為B{\displaystyleB}給之A{\displaystyleA}的條件機率；其數值為P(B∩A)P(B){\displaystyle{P(B\capA)\overP(B)}}。
若B{\displaystyleB}給之A{\displaystyleA}的條件機率和A{\displaystyleA}的機率相同時，則稱A{\displaystyleA}和B{\displaystyleB}為獨立事件。
且A{\displaystyleA}和B{\displaystyleB}的此一關係為對稱的，這可以由一同價敘述：「當A{\displaystyleA}和B{\displaystyleB}為獨立事件時，P(A∩B)=P(A)P(B){\displaystyleP(A\capB)=P(A)P(B)}。
」中看出。
機率論中的兩個重要概念為隨機變數和隨機變數的機率分布兩種。
目錄1生活例子2歷史3事件3.1單位事件、事件空間、隨機事件3.2事件的計算4機率的定義4.1傳統機率(古典機率)(拉普拉斯機率)4.2統計機率4.3現代機率論5機率公理6完全機率7貝氏定理8機率分布9機率論的應用10參見11參考文獻生活例子[編輯]人們對機率總是有一點觸摸不清的感覺，而事實上也有很多看似奇異的結果：1;六合彩：在六合彩（49選6）中，一共有13,983,816種可能性（參閱組合數學），如果每周都買一組不相同的號，一年有52周，則在實驗越多次（一直買直到中獎算一次）之後，平均中獎所花的時間會越接近1398381652=268919{\displaystyle{\frac{13983816}{52}}=268919}。
事實上，即使每周買相同的號，獲得頭獎的機率也是相同的。
但假設每周實際中獎的組合都不重複，268919年的算術推論是正確的，這說明機率和
3. (PDF) 《概率论与数理统计》浙大版（第四版）教材
《概率论与数理统计》浙大版（第四版）教材.Academia.eduusescookiestopersonalizecontent,tailoradsandimprovetheuserexperience.Byusingoursite,youagreetoourcollectionofinformationthroughtheuseofcookies.Tolearnmore,viewour PrivacyPolicy.×Academia.edunolongersupportsInternetExplorer.TobrowseAcademia.eduandthewiderinternetfasterandmoresecurely,pleasetakeafewsecondsto upgradeyourbrowser.×CloseLogInLogIn with FacebookLogIn with Google SignUpwithAppleorEmail:Password:Remembermeonthiscomputeror resetpasswordEntertheemailaddressyousignedupwithandwe'llemailyouaresetlink.Needanaccount? ClickheretosignupLogInSignUpLogInSignUpmoreJobBoardAboutPressBlogPeoplePapersTermsPrivacyCopyrightWe'reHiring!HelpCenterlessDownloadFreePDFDownloadFreePDF《概率论与数理统计》浙大版（第四版）教材YumObataDownload PDFDownload FullPDFPackageThispaperAshortsummaryofthispaper0FullPDFsrelatedtothispaperReadPaper《概率论与数理统计》浙大版（第四版）教材DownloadLoadingPreviewSorry,previewiscurrentlyunavailable.Youcandownloadthepaperbyclickingthebuttonabove.RelatedPapersDownloadpdfAboutPressBlogPeoplePapersJobBoardAdvertise We'reHiring! HelpCenterFindnewresearchpapersin:PhysicsChemistryBiologyHealthSciencesEcologyEarthSciencesCognitiveScienceMathematicsComputerScienceTermsPrivacyCopyrightAcademia©2021
4. (PDF) R语言程序开发在《概率论与数理统计》教学中的应用
针对《概率论与数理统计》课程教学中的一些基础理论和定理抽象、难理解等难题，通过引入R软件及其相应的开源包，对一些常见的随机现象建立教学案例进行 ...ArticlePDFAvailableR语言程序开发在《概率论与数理统计》教学中的应用November2020现代教育论坛3(7):60DOI:10.32629/mef.v3i7.2592Authors:廷金罗廷金罗ThispersonisnotonResearchGate,orhasn'tclaimedthisresearchyet.棒磊关棒磊关ThispersonisnotonResearchGate,orhasn'tclaimedthisresearchyet.Downloadfull-textPDFReadfull-textDownloadfull-textPDFReadfull-textDownloadcitationCopylinkLinkcopiedReadfull-textDownloadcitationCopylinkLinkcopiedAbstract针对《概率论与数理统计》课程教学中的一些基础理论和定理抽象、难理解等难题，通过引入R软件及其相应的开源包，对一些常见的随机现象建立教学案例进行课堂演示。
结果表明：R软件能够快速构建中心极限定理等经典演示案例，实现了一些抽象定理结论实验验证和结果可视化，激发了学生学习兴趣和积极性，加深了学生对课程重要知识点的理解与掌握。
Discovertheworld'sresearch20+millionmembers135+millionpublications700k+researchprojectsJoinforfreePublicFull-text1Availablevialicense:CCBY-NC4.0Contentmaybesubjecttocopyright.现代教育论坛第3卷◆第7期◆版本1.0◆2020年文章类型：论文刊号（ISSN）：2630-5178/（中图刊号）：380GL019CopyrightcThiswordislicensedunderaCommonsAttibution-NonCommercial4.0InternationalLicense.60ModernEducationForumR语言程序开发在《概率论与数理统计》教学中的应用罗廷金1关棒磊21.国防科技大学文理学院2.国防科技大学空天科学学院DOI:10.12238/mef.v3i7.2592[摘要]针对《概率论与数理统计》课程教学中的一些基础理论和定理抽象、难理解等难题，通过引入R软件及其相应的开源包，对一些常见的随机现象建立教学案例进行课堂演示。
结果表明：R软件能够快速构建中心极限定理等经典演示案例，实现了一些抽象定理结论实验验证和结果可视化，激发了学生学习兴趣和积极性，加深了学生对课程重要知识点的理解与掌握。
[关键词]R语言；本科教学；程序设计；概率论与数理统计中图分类号：G642文献标识码：AApplicationofRLanguageProgramDevelopmentintheTeachingofProbabilityTheoryandMathematicalStatisticsTingjinLuo1,BangleiGuan21CollegeofArtsandScience,NationalUniversityofDefenseTechnology2CollegeofSystemsEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology[Abstract]InthecourseteachingofProbabilityTheoryandMathematicalStatistics,therearemanyabstractanddifficultunderstandingtheoremsandpropositions.Tosolvetheseproblems,weintroduceRsoftwareanditscorrespondingopensourcepackagestomodelandvisualizesomerandomphenomenaforourclass.TheresultsindicatethatRsoftwarecanquicklybuildclassicdemonstrationcasesforsomeabstracttheoremsandvisualizeitsresults,suchasthecentrallimittheorem.TobuildthecasestudybyRpackagecan
结果表明：R软件能够快速构建中心极限定理等经典演示案例，实现了一些抽象定理结论实验验证和结果可视化，激发了学生学习兴趣和积极性，加深了学生对课程重要知识点的理解与掌握。
Discovertheworld'sresearch20+millionmembers135+millionpublications700k+researchprojectsJoinforfreePublicFull-text1Availablevialicense:CCBY-NC4.0Contentmaybesubjecttocopyright.现代教育论坛第3卷◆第7期◆版本1.0◆2020年文章类型：论文刊号（ISSN）：2630-5178/（中图刊号）：380GL019CopyrightcThiswordislicensedunderaCommonsAttibution-NonCommercial4.0InternationalLicense.60ModernEducationForumR语言程序开发在《概率论与数理统计》教学中的应用罗廷金1关棒磊21.国防科技大学文理学院2.国防科技大学空天科学学院DOI:10.12238/mef.v3i7.2592[摘要]针对《概率论与数理统计》课程教学中的一些基础理论和定理抽象、难理解等难题，通过引入R软件及其相应的开源包，对一些常见的随机现象建立教学案例进行课堂演示。
结果表明：R软件能够快速构建中心极限定理等经典演示案例，实现了一些抽象定理结论实验验证和结果可视化，激发了学生学习兴趣和积极性，加深了学生对课程重要知识点的理解与掌握。
[关键词]R语言；本科教学；程序设计；概率论与数理统计中图分类号：G642文献标识码：AApplicationofRLanguageProgramDevelopmentintheTeachingofProbabilityTheoryandMathematicalStatisticsTingjinLuo1,BangleiGuan21CollegeofArtsandScience,NationalUniversityofDefenseTechnology2CollegeofSystemsEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology[Abstract]InthecourseteachingofProbabilityTheoryandMathematicalStatistics,therearemanyabstractanddifficultunderstandingtheoremsandpropositions.Tosolvetheseproblems,weintroduceRsoftwareanditscorrespondingopensourcepackagestomodelandvisualizesomerandomphenomenaforourclass.TheresultsindicatethatRsoftwarecanquicklybuildclassicdemonstrationcasesforsomeabstracttheoremsandvisualizeitsresults,suchasthecentrallimittheorem.TobuildthecasestudybyRpackagecan