72法則翻倍 | 72法則翻倍
72、69翻一倍法則. 我們儲蓄金錢放在銀行n年，銀行採用一年計算利息一次，存錢一期(一年)後，將利息和本金當作下一期的本金計息，這種計息方式稱作複利。
72、69翻一倍法則我們儲蓄金錢放在銀行n年，銀行採用一年計算利息一次，存錢一期(一年)後，將利息和本金當作下一期的本金計息，這種計息方式稱作複利。
例如，第一年存入銀行的本金是P元，年利率r％，則第一年後的利息是P×r％，本利和=本金+利息=P+P×r％=P(1+r%)。
第二年的本金就是第一年後的本利和，則第二年後的利息是P(1+r%)×r％，本利和=P(1+r%)+P(1+r%)×r％=P(1+r%)×(1+r%)=P(1+r%)2。
第三年的本金就是第二年後的本利和，則第三年後的利息是P(1+r%)2×r％，本利和=P(1+r%)2+P(1+r%)2×r％=P(1+r%)2×(1+r%)=P(1+r%)3。
直到n年約滿，可以擁有的本利和是P(1+r%)n。
例如：儲蓄本金100000元，年利率1.08%，複利計息，10年後的本利和是111340元，約為原來本金的1.1倍。
那麼，如果後來本利和是原來本金的2倍，則至少要儲蓄多少年？ 試問：「採用複利計息，一年一期，如果n年約滿的本利和是第一年本金的2倍，則n應該是多少？」假設P(1+r%)n=2P，即(1+r%)n=2，則n×ln(1+r%)=ln2，因此n=$\large\frac{ln2}{ln(1+r\%)}$...公式(1)得知「若存入本金P元，年利率r%，採複利計息，在$\large\frac{ln2}{ln(1+r\%)}$年後可以翻一倍成2P元。
」因為自然對數函數ln(1+x)的泰勒級數展開式是$\x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...$，|x|<1。
當x很小時，ln(1+x)近似於x。
例如：ln(1+0.01)≒0.0099≒0.01。
所以當r%很小時，n=$\large\frac{ln2}{ln(1+r\%)}$≒$\large\frac{ln2}{r\%}$=$\large\frac{0.69}{r\%}$=$\large\frac{69}{r}$。
(ln2≒0.69)雖然目前大多數的人採用72法則估計投資翻倍的年資$\large\frac{72}{r}$，可是現在是低利率(1％-3％)的時期，顯然69法則($\large\frac{69}{r}$)的估計誤差比較小，可以參見下表。
例如：儲蓄本金100000元，年利率1.08%，複利計息，以69法則估計，$\large\frac{69}{1.08}$約64年後能有存款額200000元。
(年利率r％，複利計息，n年翻倍，本金P元翻滾成本利和2P元)r= 公式(1)n值 69法則n值 72法則n值Copyright© 昌爸工作坊allrightsreserved.
72、69翻一倍法則我們儲蓄金錢放在銀行n年，銀行採用一年計算利息一次，存錢一期(一年)後，將利息和本金當作下一期的本金計息，這種計息方式稱作複利。
例如，第一年存入銀行的本金是P元，年利率r％，則第一年後的利息是P×r％，本利和=本金+利息=P+P×r％=P(1+r%)。
第二年的本金就是第一年後的本利和，則第二年後的利息是P(1+r%)×r％，本利和=P(1+r%)+P(1+r%)×r％=P(1+r%)×(1+r%)=P(1+r%)2。
第三年的本金就是第二年後的本利和，則第三年後的利息是P(1+r%)2×r％，本利和=P(1+r%)2+P(1+r%)2×r％=P(1+r%)2×(1+r%)=P(1+r%)3。
直到n年約滿，可以擁有的本利和是P(1+r%)n。
例如：儲蓄本金100000元，年利率1.08%，複利計息，10年後的本利和是111340元，約為原來本金的1.1倍。
那麼，如果後來本利和是原來本金的2倍，則至少要儲蓄多少年？ 試問：「採用複利計息，一年一期，如果n年約滿的本利和是第一年本金的2倍，則n應該是多少？」假設P(1+r%)n=2P，即(1+r%)n=2，則n×ln(1+r%)=ln2，因此n=$\large\frac{ln2}{ln(1+r\%)}$...公式(1)得知「若存入本金P元，年利率r%，採複利計息，在$\large\frac{ln2}{ln(1+r\%)}$年後可以翻一倍成2P元。
」因為自然對數函數ln(1+x)的泰勒級數展開式是$\x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...$，|x|<1。
當x很小時，ln(1+x)近似於x。
例如：ln(1+0.01)≒0.0099≒0.01。
所以當r%很小時，n=$\large\frac{ln2}{ln(1+r\%)}$≒$\large\frac{ln2}{r\%}$=$\large\frac{0.69}{r\%}$=$\large\frac{69}{r}$。
(ln2≒0.69)雖然目前大多數的人採用72法則估計投資翻倍的年資$\large\frac{72}{r}$，可是現在是低利率(1％-3％)的時期，顯然69法則($\large\frac{69}{r}$)的估計誤差比較小，可以參見下表。
例如：儲蓄本金100000元，年利率1.08%，複利計息，以69法則估計，$\large\frac{69}{1.08}$約64年後能有存款額200000元。
(年利率r％，複利計息，n年翻倍，本金P元翻滾成本利和2P元)r= 公式(1)n值 69法則n值 72法則n值Copyright© 昌爸工作坊allrightsreserved.