本書前3章主要介紹了Riemann流形、Riemann聯絡、Riemann截曲率、Ricci曲率和數量曲率，詳細論述了全測地、全臍點和極小子流形等重要內容。此外，還應用變分和Jacobi場討論了測地線、極小子流形的長度與體積的極小性。在證明了Hodge分解定理之後，論述了Laplace-Beltrami運算元△的特徵值估計以及譜理論。進而，介紹了Riemann幾何中重要的Rauch比較定理、Hessian比較定理、Laplace比較定理和體積比較定理。作為比較定理的應用，我們有著名的拓撲球面定理。這些內容可視作近代微分幾何必備的專業基礎知識。

在敘述時，我們同時採用了不變觀點（映射觀點、近代觀點）、座標觀點（古典觀點）和活動標架法。無疑，這些對閱讀文獻和增強研究能力會起很大作用。第4章、第5章是作者關於特徵值的估計和等譜問題、曲率與拓撲不變數等方面部分論文的彙集，將引導讀者如何去閱讀文獻，如何去作研究，以及如何取得高水準的成果。

本書可作為理科大學數學系幾何拓撲方向碩士生、博士生的參考書，也可作為相關數學研究人員的參考書。

總序
序言

第1章 Levi-Civita聯絡和Riemann截曲率
1.1 向量叢上的線性聯絡
1.2 切叢上的線性聯絡、向量場的平移和測地線
1.3 Levi.Civita聯絡和Riemann流形基本定理
1.4 Riemann截曲率、Ricci曲率、數量曲率和常截曲率流形
1.5 C浸入子流形的Riemann聯絡
1.6 活動標架
1.7 C函數空間
1.8 全測地、極小和全臍子流形
1.9 Euclid空間和Euclid球面中的極小子流形
1.10指數映射、Jacobi場、共軛點和割跡
1.11長度和體積的第1、第2變分公式

第2章 Laplace運算元△的特徵值、Hodge分解定理、譜理論和等譜問題

第3章 Riemann幾何中的比較定理
3.1 Rauch比較定理、Htessian比較定理、Laplace運算元比較定理、體積比較定理
3.2 拓撲球面定理

第4章 特徵值的估計和等譜問題的研究

第5章 曲率與拓撲不變數
5.1 具有非負Ricci曲率和大體積增長的開流形
5.2 完備非緊流形上射線的excess函數
5.3 具有非負Ricci曲率的開流形的拓撲
5.4 具有非負曲率完備流形的體積增長及其拓撲
5.5 小excess與開流形的拓撲
5.6 曲率下界與有限拓撲型
5.7 Excess函數的一個應用
5.8 小excess和Ricci曲率具有負下界的開流形的拓撲
5.9 具有非負Ricci曲率的開流形的基本群(I)
5.10 具有非負Ricci曲率的開流形的基本群(Ⅱ)
5.11 漸近非負Ricci曲率和弱有界幾何的完備流形
5.12 曲率與Betti數
5.13 球面同倫群的伸縮不變數
5.14 積分Ricci曲率有下界對基本群和第1Betti數的限制
5.15 具有有限調和指標的極小超曲面