隨著分散投資、資產配置的理念逐漸擴散，人們開始思考不同資產間的搭配方式，而這就是「現代投資組合理論」登場的時刻了。

投資, 配置, 資產配置, ...登入取消幫助中心Markowitz和效率前緣狂徒追蹤本文發佈於狂徒投資22021-07-17|閱讀時間‧約9分鐘作者已霧化此圖片，請斟酌點閱。

隨著分散投資、資產配置的理念逐漸擴散，人們開始思考不同資產間的搭配方式，而這就是「現代投資組合理論」登場的時刻了。

投資一定有風險，也一定有預期回報，所以我們需要先說好，什麼是「預期報酬」，什麼又是「風險」。

很輕鬆的，我們知道用「加權平均」(期望值)來計算組合收益。

而要描述組合波動，我們使用「變異數」(方差)。

1.假設台積電一年上漲100%(純粹舉例)，蘋果一年上漲50%，那麼我各投資一半資金，就會得到75%的收益。

如果我有80%投資在台積電，20%在蘋果，則組合收益就是1×0.8+0.5×0.2=0.9，90%收益。

以上算式，就是加權平均的形狀。

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E:期望值(expect)W:權重(weight)R:收益(return)2.接下來，我們要處理所謂的組合波動。

我曾躺在遊輪上的游泳池中，感受到很特殊的晃動。

海浪讓船身搖擺，而船身又讓游泳池的水產生波動，所以當我閉上眼睛時，我能感受到兩者造成的協力晃動。

對於單一資產而言，波動很好算，單純就是收益的變異數(方差)。

可是當我們處理多類資產時，究竟要使用誰的方差呢?答案是，使用共同的變異數，也就是「共變異數」(協方差，covariance).作者已霧化此圖片，請斟酌點閱。

如果使用向量和矩陣來描述，形狀也一樣，但各細項我就不列出來了。

(協方差矩陣非常重要，是計算投資組合時好用的工具。

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T:轉置矩陣(transpose)3.高中數學，在說共變異數的時候，會順便介紹「相關係數」，但它對於投資組合有什麼意義呢?作者已霧化此圖片，請斟酌點閱。

ρ:相關係數大家可以思考「主動降噪耳機」，它的原理是製造相反的聲波，刻意將噪音抵銷。

雖然無法做到完全靜音，但是效果也很顯著。

降風險，和降躁的精神一樣。

觀察股債組合，我們可以看到，股票和債券的走勢不同，而且有時候甚至相反。

用數學語言來描述，就是「相關係數」低。

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我簡單畫了一個極端的狀況，紅線和藍線雖然都有波動，但疊加在一起之後，組合出了一條無波動的直線(黑)。

也就是說，理論上我們如果找到相關係數很低(包括負值)的資產，就可以配出「無風險」組合。

當然，實際上不可能有這種完美組合，我們能做的只有盡量降低風險。

(事實上我只是畫弦波函數而已，和真實資產價格的走勢差異很大，也請先不要跟我說傅立葉。

)換句話說，基本上找相關係數低的不同資產配置在一起，會讓整體組合的波動降低。

4.回過頭來看協方差的性質，我們要來研究一下整個組合的變異數(方差)。

而為了方便證明，我先用兩種資產舉例。

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我們可以看到，Var(X),Var(Y)和Cov(X,Y)都是資產歷史表現決定的，而我們需要調整a,b的值，並期望讓整體波動Var(aX+bY)最小。

當我用未來的預期組合扣掉原本的組合時，只剩下Cov(X,Y)有變化，其它都會抵銷掉。

換句話說，我們只要想辦法把Cov最小化即可。

(嚴格來說應該是0.5Cov)5.接下來，我會寫出求解的方式，不想看的朋友可以往下跳一段。

引用上述的式子，並改寫成另一種表達形式。

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原始版本的限制條件，包括「不可做空」，也就是權重W最小只能是0，不過此處先不考慮。

另外，還有一個條件就是資金要全部打完，也就是每個權重W加起來要是1。

要處理這種帶有限制條件的極值，我們可以用Lagrange乘法，我一樣先用兩種資產來列式。

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接著，我們用矩陣來處理它，最終可以在求出反矩陣的前提下，得到W的解。

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