本書是作者在東南大學連續20多年講授“數學分析”課程的基礎上寫成的，並已連續試用近10年。本書取名為“講義”，最大特點就是一切從讀者的角度去講解，既注重數學思想的闡述和嚴格的邏輯推導，又突出實際背景與幾何直觀的描述，並適當穿插了一些數學文化的介紹。在編排上儘量體現先易後難和分步走的原則。習題分類安排，即分為A、B、C三類。其中，A類是基本題，B類是提高題，C類是討論題。本書對討論題給予更多關注，目的在於説明學生厘清概念，增強研學與創新能力。

本書分為三冊，第一冊包括極限、連續、導數及其逆運算（不定積分），第二冊包括實數理論續（含上極限、下極限、歐氏空間）、定積分及多元微積分，第三冊包括級數與反常積分（含參變數積分）等。本書可作為數學、統計學等專業的數學分析教材與參考書。

致讀者

第12章 曲線積分、曲面積分與場論初步 1
§12.1 第一型曲線積分與第一型曲面積分 1
§12.1.1 第一型曲線積分 1
§12.1.2 第一型曲面積分 6
§12.2 第二型曲線積分與第二型曲面積分 10
§12.2.1 第二型曲線積分 10
§12.2.2 第二型曲面積分 15
§12.3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式 24
§12.3.1 Green公式 24
§12.3.2 曲線積分與路徑無關的條件 29
§12.3.3 Gauss公式 33
§12.3.4 Stokes公式 36
§12.4 場論初步 46
§12.4.1 場的概念 46
§12.4.2 數量場的等值面和梯度場 47
§12.4.3 向量場的通量與散度 48
§12.4.4 向量場的環量與旋度 50
§12.4.5 管量場與有勢場 52
§12.4.6 Hamilton運算元 53

第13章 反常積分 56
§13.1 反常積分的概念和計算 56
§13.1.1 反常積分的概念 56
§13.1.2 反常積分的性質與計算 61
§13.1.3 反常積分的Cauchy主值 64
§13.2 反常積分的收斂判別法 67
§13.2.1 無窮區間上的反常積分的收斂判別法 67
§13.2.2 瑕積分的收斂判別法 75
§13.3 反常重積分 80
§13.3.1 無窮反常重積分 80
§13.3.2 無界函數的反常二重積分 89

第14章 含參變數積分 93
§14.1 含參變數的常義積分 93
§14.1.1 含參變數積分的概念 93
§14.1.2 含參變數的常義積分所定義的函數的分析性質 94
§14.2 含參變數的反常積分 101
§14.2.1 含參變數的反常積分的一致收斂性 102
§14.2.2 含參變數反常積分一致收斂性的判別 103
§14.2.3 一致收斂積分的分析性質 109
§14.3 Euler積分 117
§14.3.1 Beta函數 117
§14.3.2 Gamma函數 119
§14.3.3 Beta函數與Gamma函數的關係 122
§14.3.4 Euler公式的拓展：Legendre公式、餘元公式和Stirling公式 124

第15章 數項級數 127
§15.1 數項級數的收斂性 128
§15.1.1 數項級數的概念 128
§15.1.2 級數Cauchy收斂原理 129
§15.2 正項級數 133
§15.2.1 Cauchy判別法(或根式判別法(root test)) 133
§15.2.2 D'Alembert判別法(或比式判別法(ratio test)) 134
§15.2.3 積分判別法(integral test) 135
§15.2.4 Raabe判別法 138
§15.2.5 其他一些判別法 139
§15.3 任意項級數 141
§15.3.1 交錯級數與Leibniz判別法 141
§15.3.2 Abel判別法與Dirichlet判別法 143
§15.3.3 級數的絕對收斂與條件收斂 146
§15.3.4 級數的重排 147
§15.3.5 級數的乘法 151
§15.4 無窮乘積 156
§15.4.1 無窮乘積定義 156
§15.4.2 無窮乘積的性質 159
§15.4.3 無窮乘積與無窮級數的轉化 160
§15.4.4 絕對收斂 161

第16章 函數項級數 164
§16.1 點態收斂和一致收斂 164
§16.1.1 點態收斂與收斂域 164
§16.1.2 函數項級數與函數列的基本問題 165
§16.1.3 一致收斂的定義 167
§16.1.4 函數列一致收斂與非一致收斂的判別 168
§16.2 級數一致收斂性的判別與一致收斂級數的性質 175
§16.2.1 函數項級數一致收斂性的判別 175
§16.2.2 一致收斂的函數列與函數項級數的性質 180
§16.3 冪級數 188
§16.3.1 冪級數的收斂域 189
§16.3.2 冪級數的性質 192
§16.3.3 Taylor級數與余項公式 195
§16.3.4 初等函數的冪級數展開 199

第17章 Fourier級數 208
§17.1 函數的Fourier級數展開 209
§17.1.1 平方可積函數空間與正交函數系 209
§17.1.2 週期為2π的函數的Fourier展開 211
§17.1.3 正弦級數和余弦級數 214
§17.1.4 任意週期的函數的Fourier展開 217
§17.2 Fourier級數的收斂判別法 218
§17.2.1 Dirichlet積分 219
§17.2.2 Riemann引理及其推論 220
§17.2.3 Fourier級數的收斂判別法 223
§17.3 Fourier級數的性質 228
§17.3.1 Fourier級數的分析性質 228
§17.3.2 Fourier級數的平方逼近性質 230
§17.4 Fourier變換 234
§17.4.1 Fourier積分 234
§17.4.2 Fourier變換及其逆變換 237
§17.4.3 Fourier變換的性質 239

參考文獻 243
附錄 數學分析III試卷 244
索引 251