給曾經害怕數學、不知道學數學有什麼用的你－－學數學，讓你「多擁有一種靈魂」。▍東京大學博士、加州理工學院理論物理學研究所所長大栗博司，帶你用生活的眼光認識、理解重要數學概念，不再害怕數學，更發現世界隱藏在數學背後的真實面貌。▍學數學其實就像學一種新的語言，是一扇帶你進入未知世界的門。而這本數學書，就像一本實用的生活會話書，而非硬邦邦的文法課本，以輕鬆而深入淺出的筆法，讓我們體會數學的趣味與美──由最基本的算術、方程式、基本幾何、畢氏定理、機率等國高中數學，到大學的微積分，以及更進階的複數系統、群論，透過真實生活中的例子及歷史軼事，讓我們拋開對數學的刻板印象，真正認識數學的本質，進而能夠用數學這個「語言」與世界對話。■　為什麼美國政府會向大眾宣告「不建議女性每年接受乳癌篩檢」？ ■　「納皮爾常數」可以用來挑選戀人，現代天文學之父克卜勒甚至以它來挑選再婚對象！■　畢達哥拉斯的弟子發現了無法化為分數的數，卻因此惹來殺身之禍？■　不能理解「負數」概念別擔心，因為連帕斯卡、笛卡兒等偉大數學家也都沒辦法接受！■　如果少了質數，我們可能再也沒辦法網路購物？■　「對數函數」的發明，讓天文學家壽命延長了兩倍！■　古希臘人如何在西元前3世紀就知道「地球是圓的」，甚至算出地球的大小？……不論你過去是否討厭數學，本書將讓你看見它的本質，以及它在歷史上及現代生活中扮演的角色，發現學習數學的意義及樂趣！【國內數學專家、學者，共感推薦！】李信昌（數學網站「昌爸工作坊」站長）林福來（台師大數學系講座教授、數學教育中心主任）林壽福（興雅國中退休教師、台師大傑出校友）施信源（新北市龍埔國小國際教育中心主任）洪萬生（台師大數學系退休教授）陳記住（網路數學課程創作老師）賴以威（「數感實驗室」共同創辦人、台師大電機系助理教授）大栗博司希望透過書中的豐富內容啟發女兒與讀者明白「數學是為了將事物回歸到基本原理、盡可能正確地表現出事物樣貌而產生的語言。」使用數學的語言可以精準的描述自己的想法，展現自主思考的能力。伽利略認為「自然寫在宇宙這本大書上，而這本書是用數學語言寫成的。」如今大家身處大數據資訊洪流裡，如何萃取當中的本質，建立模式，更需要依賴數學的語言。──李信昌（數學網站「昌爸工作坊」站長）在新課綱朝向真實世界與學科知識結合的素養教育中，現象與人類之間的溝通，更需要順暢的語言進行流動。透過本書風趣、真實的文字敘述，讓我們找到數學的視覺、聽覺與觸覺的新感受，跨越數學與生活的鴻溝，咀嚼思考所帶來的驚艷與感動！──施信源（新北市龍埔國小國際教育中心主任）傑出物理學家大栗博司至少精通四種語言：日文、英文、物理，以及數學。不過，他透過本書內容精彩而手法獨到的敘事，最想與他女兒及讀者分享的，則莫過於數學語言。這是因為他認為「數學是一種為了可以正確的表示事物本質而創造的語言，而這一點正是英語或日語無法達到的。」所以，「如果明白了數學這種語言，就能夠說出以前無法述說的話語、看清以前不曾見過的事物，思考以前不曾想過的問題。」──洪萬生（台灣師範大學數學系退休教授）這是一本以愛為出發點所寫的數學書，讀起來感覺特別好。雖然是作者為剛進高中的女兒所寫的書，考慮作者女兒的知識背景，由最基本的算術、方程式、基本幾何、畢氏定理、機率等國中數學的學習內容，詳加引導，依序推演到高中數學，並於第七章介紹大學理工科必修的微積分，和最末章，介紹在現實世界中不存在，但是確定存在於數學世界的複數系統，處處可見一位父親，為女兒的學習路步步建立生動且一貫的系統，為其日後學習建立最佳榜樣，及日後學習最佳基礎。　由於本人所學的是工程，雖然現在是數學老師，但有些內容都是第一次接觸，也算是讀本書最大的收獲。相信對高中生、大學生、和熱愛數學的人來說，不但可以從本書中得到許多寶貴的數學知識，也可以感受到一位父親對女兒的愛，而這愛將由本書流到愛閱讀的讀者裡面，成為日後學習的動力與最大幫助。──陳記住（網路數學課程創作老師）有涉獵數學科普書的朋友，一定對書中某幾個數學故事不陌生：無限個房間的旅館，某天來了無限多位客人；從辛普森殺人案件中討論機率；質數在加密解密上的應用……事實上，書中所用的都是相當經典的數學故事。但看過不代表就沒意思，經典之所以是經典在於它能讓人印象深刻。所以我們看到羅密歐與茱麗葉的故事不斷被改編，金庸小說每隔幾年就被拿上螢幕重拍一次。透過不同的詮釋，經典會被賦予不同的感受。大栗博司教授就是一位能充分發揮數學經典魅力的作家。　伽利略說過：「自然界的書是用數學的語言寫成。」把學校課本視為文法書，這本書視為旅遊會話書，重新以語言的角度來看待數學，活用數學。相信習慣後，你的思維也會被數學固有的特質，雕塑得更加精確，更有邏輯性。現在，準備好閱讀這本用數學寫下的經典童話了嗎？──賴以威（「數感實驗室」共同創辦人、台師大電機系助理教授）

作者簡介大栗博司加州理工學院Walter Burke理論物理學研究所所長、Fred Kavli名譽教授，數學、物理、天文部門副部門長。也擔任東京大學Kavli數物聯合宇宙研究機構主任研究員。1962年生，京都大學理學部畢業，東京大學理學博士。曾任東京大學助理、普林斯頓高等研究所研究員、芝加哥大學助理教授、京都大學助理教授、加州大學柏克萊分校教授。研究專業為基本粒子論。2008年獲得艾森巴德獎（美國數學學會）、高木lecture（日本數學學會），2009年獲得洪保德獎、仁科紀念獎、12年賽門斯研究獎。亞斯本物理學中心理事，日本數學會會員。著有《重力是什麼》、《強的力與弱的力》、《大栗老師的超弦理論入門》、《基本粒子論的風景》、《用漫畫學超弦理論》等。譯者簡介許淑真國立台灣大學微生物學研究所畢業。研究領域為分子生物學、細胞生物學、癌症生物學。熱心推廣科普教育，希望能分享科學帶來的感動。

導 讀 一本用數學寫下的經典童話（賴以威）前 言 送給女兒的數學課第一話 利用不確定的資訊來判斷序 O.J. 辛普森（O.J. Simpson）判決案辯護方教授的主張1 首先來擲骰子吧2 不會輸的必勝法3 條件機率以及貝氏定理4 接受乳癌診斷到底有沒有意義呢5 從經驗中學習變成從數學學習6 重大核能事故再次發生的機率7 O.J. 辛普森有罪嗎？第二話 回歸基本原理序 為了創新所需要的能力1 加法、乘法的三項規則2 有了減法，然後發現了「零」3 為什麼負負得正4 只要有分數，什麼都能分割5 假分數→帶分數→連分數6 利用連分數來製作曆法7 其實不想承認的無理數8 二次方程式的華麗歷史第三話 天文數字也不可怕序 世界初次的原子彈核爆實驗與費米推定1 大氣中的二氧化碳到底增加了多少呢1.1 人類究竟消耗了多少能量呢1.2 人類排放出了多少二氧化碳呢2 出現天文數字也不可怕3 讓天文學家的壽命延長兩倍的祕密武器4 什麼樣的儲蓄方法能讓複利效果最大化呢？5 銀行存款要幾年才會變成兩倍呢？6 尋找自然法則中的對數第四話 不可思議的質數序 純粹數學之花1 用「埃拉托斯特尼（Eratosthenes）篩法」尋找質數2 質數有無限多個3 質數的出現是有規律的4 利用「巴斯卡三角形」判定質數5 通過費馬測試就是質數？6 守護通訊祕密的「公開金鑰密碼」是什麼？7 「公開金鑰密碼」的鑰匙─歐拉定理8 信用卡號碼的傳送與接收第五話 無限世界與不完備定理序 歡迎光臨「加州旅館」1 「1=0.99999…」是無法認同的嗎？2 阿基里斯追不上烏龜嗎3 「現在，我正在說謊」4 「不在場證明」是「反證法」5 這就是哥德爾的不完備定理！第六話 測量宇宙的樣貌序 古希臘人要怎樣測量地球的大小呢1 基本中的基本──三角形的性質1.1 證明三角形內角和是180 度1.2 一輩子也忘不了的「畢達哥拉斯定理」証明法2 劃時代的想法「笛卡兒座標系」3 6 維空間、9 維空間、甚至10 維空間4 歐幾里德定理不成立的世界5 僅僅只有平行線公理不成立的世界6 不需從外面觀察就可以知道二維面形狀的「絕妙定理」7 畫一個邊長100億光年的三角形第七話 微積分從積分開始序 阿基米德的信1 為什麼「從積分開始」呢2 說到底，面積到底要怎樣計算3 什麼圖形都ok 的、「阿基米德逼近法」4 積分究竟在算什麼呢5 試著積分各式各樣的函數吧6 飛行中的箭是靜止的嗎7 微分是積分的逆算8 指數函數的微分與積分第八話 真實存在的「幻想的數」序 幻想的朋友、幻想的數1 不管怎樣都會出現「平方之後變成負數」2 從一維的實數到二維的複數3 複數的乘法是「回轉延伸」4 利用乘法推導的「加法定理」5 幾何問題，用方程式來解答！6 連結三角函數與指數函數的歐拉公式第九話 測量難度與美序 伽羅瓦、20 年的生涯與不滅的功績1 什麼是圖形的對稱性2 「群」的發現3 二次方程式「公式解」的祕密4 三次方程式、為什麼有解5 「方程式有解」究竟是怎樣一回事呢6 五次方程式與正20 面體7 伽羅瓦最後的信8 算式的難度與形式的美9 多擁有一種靈魂後記

導讀一本用數學寫下的經典童話賴以威（台師大電機系助理教授、臉譜「數感書系」特約主編）　　如果用法語來譬喻的話，這本書不是從最初級的文法開始教的教科書，反而像是去法國旅行時能派上用場的會話書。──〈前言．送給女兒的數學課〉　　讀完序再翻回封面看書名，你大概就知道這是一本怎樣的數學書了。作者大栗博司教授是加州理工學院的理論物理學研究所所長，這是一本站在知識頂端的學者，低首寫給女兒的一本數學童話書。　　有涉獵數學科普書的朋友，一定對書中某幾個數學故事不陌生：無限個房間的旅館，某天來了無限多位客人；從辛普森殺人案件中討論機率；質數在加密解密上的應用……事實上，書中所用的都是相當經典的數學故事。　　但看過不代表就沒意思，經典之所以是經典在於它能讓人印象深刻。所以我們看到羅密歐與茱麗葉的故事不斷被改編，金庸小說每隔幾年就被拿上螢幕重拍一次。透過不同的詮釋，經典會被賦予不同的感受。　　大栗博司教授就是一位能充分發揮數學經典魅力的作家。　　1900年，德國大數學家希爾伯特（D. Hilbert）在巴黎的國際數學會議上引用了一位法國老數學家的話：「如果你無法將一個數學理論弄清楚到可以解釋給街上任何一個人聽，那麼這個數學理論就不算完成。」把一個很難的問題說得很複雜沒什麼了不起，只要照著網路上找到的資料唸就好；但想要用自己的語言，清楚地對他人解釋，那就需要對整套知識的通盤了解。§　差一點，差很多的機率推理　　大栗博司教授具備這樣的本事，他對每個經典的數學故事和背後理論有著透徹的認識，在表達闡述上也下過一番苦心（照他自己的說法是，專欄寫一遍，集結成冊時再重新大改一次）。例如第一章講到機率時的「量化可能性」。在辛普森殺妻命案中，辯護團律師有這麼一段論述：「2500位虐待妻子的丈夫之中，只有1人會因此而殺了妻子。」低到只有萬分之四的機率，因此對辛普森「既然會家暴，也可能會殺了妻子」的控訴自然不成立。　　看起來相當合理，但大栗博司教授指出其中推理的重大缺陷。先看另一個事實：美國兩萬名已婚婦女中，只有1人會遭到丈夫以外的人殺害。換句話說，如果是十萬名被家暴的婦女，平均有5位會遭到丈夫以外的人殺害。但同時，因為萬分之四的機率，有40位婦女會被丈夫殺害。所以家暴殺害妻子的機率高達40/(40+5)，將近90%。　　為什麼同樣的一件事從不同角度來看，機率會差這麼多？　　關鍵在於辛普森妻子此刻的死活。　　辯護團律師的計算過程，是建立在只遭到家暴的前提下。但擺在眼前的現實是她已經死亡，因此計算機率時，必須將妻子遭到殺害這個事件作為前提。兩者都是在計算條件機率，只是條件有所不同，大栗博司教授的考量顯然更符合當下的狀況。　　僅僅是一個條件的不同（有沒有考慮到妻子已遭他殺），就讓數據大翻轉。好比原本以為只有一面是六點，打開骰盅才發現有五面都是六點。大栗博司教授透過這個例子，讓讀者感受到精算機率的威力，也更認識條件機率。§　不接受負數的數學家　　我另一個喜歡本書的原因是，書中提到一些數學發展演進的過程。如果你唯一的數學讀物是課本，那麼，儘管你知道不是這樣，但還是會常常覺得數學彷彿一開始就長得跟現在一模一樣，每一條公式、定理都是數學家們信奉的真理。　　「從零減去四的話，依然是零！」　　這句話很荒謬吧，聽起來就像是哪個試圖在數學課跟老師唱反調的同學會說的話。但它其實是出自於法國偉大的數學家帕斯卡（B. Pascal）之口。帕斯卡製作了全世界第一台計算機，氣壓常用單位「百帕」也是以他來命名，學校上課會提到的帕斯卡三角形，同樣是在指這位數學家（雖然這個三角形其實不是他發明的）。這麼一位天才數學家，對負數的了解真的不如一位國小學生嗎？其實不是，只是在那個時代數學知識的演進與觀念，還不足以讓數學家們接受「負」，他們覺得零就是無，不存在比無還更小的事物。　　從數學史的演進裡我們可以看到，現在被視為理所當然的數學知識，在過去可能曾經被視為錯誤，是經過許多數學家們辯證、思考後才被接受，納入數學體系。　　從這個角度來看，小朋友學數學時有問題是再理所當然不過了，畢竟連帕斯卡都對負數感到疑惑，我們更不應該用「公式就是這樣啊」的回答去敷衍他們，是要開心於他們有自己的思辨能力，不會只因為課本這樣寫，就決定相信。　　我想大栗博司教授被女兒問到數學問題時，心裡必然也有類似的想法吧。§ 語言乘載思考　　每當腦海裡浮現一個想法時，我們會挑選適當的詞彙與句型，將想法裝入名為「語言」的容器中。但不是每次都能找到完全貼合的容器，有時候會有空隙，有時候得用力擠一下才能放進去。也因為這樣，如果長期使用同一種語言作為容器，我想會反過來影響到一個人的思考。　　伽利略說過：「自然界的書是用數學的語言寫成。」把學校課本視為文法書，這本書視為旅遊會話書，重新以語言的角度來看待數學，活用數學。相信習慣後，你的思維也會被數學固有的特質，雕塑得更加精確，更有邏輯性。　　現在，準備好閱讀這本用數學寫下的經典童話了嗎？

前言　送給女兒的數學課在妳出生的時候，我希望妳能夠一輩子都過著幸福快樂的生活，與此同時，也希望妳能成為一個對社會進步有貢獻的人。雖然現代社會存在許許多多的問題，不過我認為我們正好生活在人類史上最光明燦爛的時代。父母親比起任何人都更希望自己的子女能夠享受到世界上最好的東西，但是我卻覺得不只該是這樣。這個社會是由人類的知識以及努力逐漸累積形成的。所以，我們不能僅僅只是享受前人努力換來的成果，同時也要做出更好的東西，留傳到下一個世代。21 世紀是個充滿不確定感的時代，連國際社會上的法則都逐漸改變。中國有13億人，而印度有12億的人口。如果這些人大多數都能接受高等教育，進而從事知識產業的話，世界應該會發生驚天動地的改變吧。每當說到這樣的話題，總是有人聯想到日本或是美國等先進國家的年輕人未來應該會遭受到很大的威脅，不過我卻不這麼想。如果開發中國家的幾十億人都能夠有機會接受良好教育，那麼就能夠不斷產生嶄新的創意來解決現代社會的問題了。如果全世界的教育程度都提高，能夠分配的大餅也會增加。對於出生在21世紀的妳而言，這是一個很大的挑戰，但是我認為，這同時也是前所未有的轉機。要在這個不斷改變的世界上生存下去的必須能力是什麼呢？我認為是「自主思考的能力」。歐美教育有著博雅教育（Liberal arts）的傳統。博雅教育是從古希臘以及羅馬時代開始的，Liberal 本來意味著自由，也就是不被當成奴隸。也就是說，博雅教育是一種教養方法，希望培育出能夠透過自己的自由意志來改變命運的自由人。想要成為領導者的話，必須要鍛鍊的能力就是─面對預料之外的事情時，自己思考解決問題的能力。在古羅馬時期，所謂的博雅教育包含了「邏輯」、「文法」、「修辭」、「音樂」、「天文」、「算術」以及「幾何」等七個科目。前三項是為了訓練能夠說出具有說服力的話語的能力。因為思考要化作語言才真正成形，為了要獲得自主思考的能力，就必須能用嚴謹的語彙述說自己的想法。