本書是為大學非基礎數學專業“實變函數與泛函分析”課程編寫的教材。它的先修課程是數學分析或物理類的高等數學。全書共分6章，內容包括︰集合，歐氏空間，Lebesgue測度，Lebesgue可測函數，Lebesgue積分，測度空間，測度空間上的可測函數和積分，Lp空間，L2空間，卷積與Fourier變換，Hilbert空間理論，Hilbert空間上的有界線性算子，Banach空間，Banach空間上的有界線算子，Banach空間上的連續線性泛函、共軛空間與共軛算子，Banach空間的收斂性與緊致性。 本書在選材上注重了少而精，突出重點，並充分地反映了實變函數論與泛函分析中的核心內容；在內容的處理上，體現了由淺入深，循序漸進的原則；在介紹新理論的同時，既闡明它的背景，又介紹它與前面的的理論間的聯系；在敘述表達上，嚴謹精練，清晰易讀，便于教學與自學。為便于讀者復習、鞏固、理解和拓廣所學知識，每節後配置了豐富的習題。為了使書中的內容成為自封閉的，特編了四節附錄附在正文之後，這樣本書中所有的定理都給出嚴格的數學證明。書末附有部分習題的參考解答或提示。 本書可作為綜合大學、理工科大學、高等師範院校應用數學、計算數學、統計學、物理學等專業，以及與金融數學相關學科的本科生教材或教學參考書，也可供從事數學或物理研究的科技人員參考。

第一章 集合與運算 1.1 集合及其運算 1.1.1 集合及其運算 1.1.2 上極限與下極限 習題 1.2 映射 1.2.1 映射 1.2.2 勢 習題 1.3 n維歐氏空間 R” 1.3.1 n維歐氏空間R” 1.3.2 閉集、開集和Borel集 1.3.3 開集的結構，連續性 1.3.4 n維點集連續性的基本定理 習題 第二章 Lebesgue測度 2.1 Lebesgue外測度與可測集 2.1.1 外測度 2.1.2 Lebesgue可測集 2.1.3 測度空間 習題 2.2 Lebesgue可測函數 2.2.1 Lebesgue可測函數 2.2.2 可測函數的基本性質 2.2.3 測度空間上的可測函數和性質 習題 2.3 Lebesgue可測函數列的收斂性 2.3.1 可測函數列的幾乎一致收斂與幾乎處處收斂性 2.3.2 可測函數列的依測度收斂性 2.3.3 可測函數與連續函數 2.3.4 測度空間上可測函數的收斂性 習題 第三章 Lebesgue積分 3.1 Lebesgue可測函數的積分 3.1.1非負可測函數的積分 3.1.2一般可測函數的積分 3.1.3黎曼積分與Lebesgue積分的關系 3.1.4測度空間上可測函數的積分 習題 3.2 Lebesgue積分的極限定理 3.2.1 Lebesgue積分與極限運算的交換定理 3.2.2 黎曼可積性的刻畫 3.2.3 L（X，F，U）中積分的極限定理 習題 3.3 重積分與累次積分 3.3.1 Fubini定理 3.3.2 測度空間上的重積分與累次積分 習題 第四章 Lp空間 4.1 Lp空間 …… 第五章 Hilbert空間理論 第六章 Banach空間 附錄A Zorn引理與勢的序關系 附錄B Tietze擴張定理 附錄C 距離空間的完備化 附錄D 第一綱集與開映射定理 D.1 綱與綱定理 D.2 開射定理 附錄E 部分習題的參考解答或提示 參考文獻 符號表 索引

自1995年以來，在姜伯駒院士的主持下，北京大學數學科學學院根據國際數學發展的要求和北京大學數學教育的實際，創迨性地貫徹教育部“加強基礎，淡化專業，因材施教，分流培養”的辦學方針，全面發揮我院學科門類齊全和師資力量雄厚的綜合優勢，在培養模式的轉變、教學計劃的修訂、教學內容與方法的革新，以及教材建設等方面進行了全方位、大力度的改革，取得了顯著的成效。2001年，北京大學數學科學學院的這項改革成果榮獲全國教學成果特等獎，在國內外產生很大反響。 在本科教育改革方面，我們按照加強基礎、淡化專業的要求，對教學各主要環節進行了調整，使數學科學學院的全體學生在數學分析、高等代數、幾何學、計算機等主干基礎課程上，接受學時充分、強度足夠的嚴格訓練；在對學生分流培養階段，我們在課程內容上堅決貫徹“少而精”的原則，大力壓縮後續課程中多年逐步形成的過窄、過深和過繁的教學內容，為新的培養方向、實踐性教學環節，以及為培養學生的創新能力所進行的基礎科研訓練爭取到了必要的學時和空間。這樣既使學生打下寬廣、堅實的基礎，又充分照顧到每個人的不同特長、愛好和發展取向。與上述改革相適應，積極而慎重地進行教學計劃的修訂，適當壓縮常微、復變、偏微、實變、微分幾何、抽象代數、泛函分析等後續課程的周學時。並增加了數學模型和計算機的相關課程，使學生有更夫的選課余步也 在研究生教育中，在注重專題課程的同時，我們制定了30多門研究生普選基礎課程（其中數學系18門），重點拓寬學生的專業基礎和加強學生對數學整體發展及最新進展的了解。 教材建設是教學成果的一個重要體現。與修訂的教學計劃相配合，我們進行了有組織的教材建設，計劃自1999年起用8年的時間修訂、編寫和出版40余種教材，這就是將陸續呈現在大家面前的《北京大學數學教學系列叢書》。這套叢書凝聚了我們近十年在人才培養方面的思考，記錄了我們教學實踐的足跡，體現了我們教學改革的成果，反映了我們對新世紀人才培養的理念，代表了我們新時期的數學教學水平。 經過20世紀的空前發展，數學的基本理論更加深入和完善，而計算機技術的發展使得數學的應用更加直接和廣泛，而且活躍于生產第一線，促進著技術和經濟的發展，所有這些都正在改變著人們對數學的傳統認識。同時也促使數學研究的方式發生巨大變化。作為整個科學技術基礎的數學，正突破傳統的範圍而向人類一切知識領域滲透。作為一種文化，數學科學已成為推動人類文明進化、知識創新的重要因素，將更深刻地改變著客觀現實的面貌和人們對世界的認識。數學素質已成為今天培養高層次創新人才的重要基礎。數學的理論和應用的巨大發展必然引起數學教育的深刻變革。我們現在的改革還是初步的。教學改革無禁區，但要十分穩重和積極；人才培養無止境，既要遵循基本規律，更要不斷創新。我們現在推出這套叢書，目的是向大家學習。讓我們大家攜起手來，為提高中國數學教育水平和建設世界一流數學強國而共同努力。